Математика: 7-й класс — карта программы

Углублённый курс 7-го класса добавляет доказательства, делимость, полный язык функций и основы вероятности.

Это карта углублённой программы, а не полный урок по каждой теме. Темы сверены с Федеральной рабочей программой «Математика. 7–9 классы», углублённый уровень. Формулировки, примеры и задания FastLearn написаны самостоятельно. Материал ОГЭ остаётся первым в основном режиме библиотеки; эта страница открывается через фильтр «Вся программа» или поиск.

Читайте раздел по порядку: сначала список охвата, затем простое объяснение и пример. После этого выполните практику без подсказки. Кнопка «Объяснить с ИИ» рядом с темой передаёт в диалог только выбранный проверенный фрагмент.

Что входит в программу. Рациональные числа; степени; модуль; расширенные признаки делимости на 4, 6, 8 и 11; алгоритм Евклида; остатки и сравнения по модулю.

Просто. Остатки позволяют изучать последнюю часть числа, не вычисляя его целиком. Алгоритм Евклида заменяет большие числа меньшими остатками, не меняя НОД.

Пример. $2027\equiv3\pmod4$, поэтому число не делится на 4.

Практика. Найдите НОД 527 и 341 алгоритмом Евклида; докажите, что квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8.

Что входит в программу. Степень одночлена и многочлена; действия, деление; формулы квадратов и кубов; разложение на множители; тождественные преобразования.

Просто. Тождество верно при всех допустимых значениях. Разложение на множители превращает сумму в произведение и часто показывает корни.

Пример. $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Практика. Разложите $6x^2-9x$ и $a^3+b^3$; найдите остаток от деления многочлена на одночлен.

Что входит в программу. Линейные уравнения, уравнения с модулем и параметром; системы двух уравнений; область определения и множество значений; минимум и максимум; $y=kx+b$, $y=|x|$, кусочные функции.

Просто. График показывает все пары входа и результата. Уравнение с модулем удобно разделять по расстоянию, а систему — как пересечение двух условий.

Пример. $|x-2|=3$ означает расстояние 3 от точки 2, поэтому $x=5$ или $x=-1$.

Практика. Решите систему $y=2x+1$, $y=-x+7$; постройте $y=|x-2|$; найдите область определения заданной кусочной функции.

Что входит в программу. Аксиома, определение и теорема; равенство треугольников; медиана, биссектриса и высота; неравенство треугольника; параллельные прямые; прямоугольный треугольник; окружность; геометрические места точек и построения.

Просто. Доказательство идёт от данных и известных свойств к требуемому выводу. Рисунок подсказывает, но не заменяет обоснование.

Пример. Точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, потому что два прямоугольных треугольника равны.

Практика. Докажите свойство углов при параллельных прямых; постройте треугольник по трём сторонам; найдите множество точек, равноудалённых от двух данных точек.

Что входит в программу. Среднее, медиана, размах, квартили и гармоническое среднее; частоты и группировка; вершины, рёбра, степени, маршруты, циклы и эйлеров путь; высказывания, необходимые и достаточные условия; событие и частота.

Просто. Среднее описывает общий уровень, медиана — середину упорядоченных данных, а размах и квартили — разброс. Граф хранит связи, не расстояния между нарисованными точками.

Пример. В графе сумма степеней вершин вдвое больше числа рёбер.

Практика. Найдите медиану и квартиль набора; проверьте возможность эйлерова пути; приведите контрпример к неверному обратному утверждению.

Страница покрывает тематические блоки федеральной программы указанного класса. Это карта содержания, а не обещание отдельного задания на ОГЭ. Экзаменационные материалы помечены и собраны в режиме «ОГЭ сначала».