Углублённый курс 9-го класса завершает школьную алгебру, геометрию и вероятностную модель.

Это углублённая программа. Темы сверены с Федеральная рабочая программа «Математика. 7–9 классы», углублённый уровень. Формулировки, примеры и задания FastLearn написаны самостоятельно. Материал ОГЭ остаётся первым в основном режиме библиотеки; эта страница открывается через фильтр «Вся программа» или поиск.

Как работать со страницей

Читайте раздел по порядку: сначала список охвата, затем простое объяснение и пример. После этого выполните практику без подсказки. Кнопка «Объяснить с ИИ» рядом с темой передаёт в диалог только выбранный проверенный фрагмент.

Корни, уравнения и неравенства с параметром

Что входит в программу. Корни n-й степени и рациональные показатели; квадратный трёхчлен; биквадратные, кубические и уравнения четвёртой степени; подстановка и графический метод; нелинейные системы; квадратные и рациональные неравенства; метод интервалов; параметры и области на плоскости.

Просто. Замена переменной полезна, когда одна и та же конструкция повторяется. Метод интервалов отслеживает знак множителей между их нулями и запрещёнными точками.

Пример. В $x^4-5x^2+4=0$ замена $t=x^2$ даёт $t=1$ или $4$, поэтому $x=\pm1,\pm2$.

Практика. Решите биквадратное уравнение; отметьте решение рационального неравенства; найдите значения параметра для двух корней.

Функции, последовательности и индукция

Что входит в программу. Чётность, промежутки монотонности, экстремумы и асимптоты; преобразования квадратичной и дробно-линейной функций; степенные функции; арифметическая и геометрическая прогрессии; предел и сумма бесконечной геометрической прогрессии; математическая индукция.

Просто. Преобразование $y=f(x-a)+b$ переносит график, а индукция доказывает утверждение для всех натуральных номеров через базу и переход.

Пример. $1+\frac12+\frac14+\dots=2$: сумма бесконечной прогрессии равна $b_1/(1-q)$ при $|q|<1$.

Практика. Опишите преобразование графика; найдите сумму прогрессии; докажите формулу суммы первых нечётных чисел индукцией.

Теоремы синусов, косинусов, Чевы и Менелая

Что входит в программу. Тригонометрия углов 0–180°; тождества; теоремы синусов и косинусов; формула Герона; площади четырёхугольника; теоремы о произведениях отрезков; Чева, Менелай и гомотетия.

Просто. Теорема Чевы проверяет конкурентность трёх чевиан, а теорема Менелая — коллинеарность трёх точек на сторонах треугольника или их продолжениях. В ориентированных отношениях важны знаки.

Пример. Для внутренних точек условие Чевы записывают как произведение трёх отношений, равное 1.

$Схема к теме «Теоремы синусов, косинусов, Чевы и Менелая»$

$Секущая в теореме Менелая$

Практика. Проверьте конкурентность по теореме Чевы; докажите коллинеарность по Менелаю; найдите сторону по теореме косинусов.

Координаты, векторы и правильные многоугольники

Что входит в программу. Уравнения прямой и окружности; пересечения; расстояние от точки до прямой; ориентированная площадь; базис и координаты вектора; скалярное произведение и проекции; радианная мера; дуга, сектор и сегмент; движения и их композиции.

Просто. Координатный метод переводит геометрию в уравнения. Скалярное произведение измеряет направленное согласование двух векторов и равно нулю для перпендикулярных ненулевых векторов.

Пример. Для $a=(2;1)$ и $b=(1;-2)$: $a\cdot b=0$, значит, векторы перпендикулярны.

Практика. Найдите расстояние от точки до прямой; вычислите площадь по координатам; переведите 150° в радианы.

Комбинаторика и случайные величины

Что входит в программу. Перестановки, сочетания, треугольник Паскаля и бином Ньютона; геометрическая вероятность; схема Бернулли и ожидание первого успеха; распределения; математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение; неравенство Чебышёва и закон больших чисел.

Просто. Распределение перечисляет возможные значения случайной величины и их вероятности. Математическое ожидание — долгосрочный средний результат модели, но не обещание одного опыта.

Пример. Для честного кубика ожидание числа очков равно 3,5, хотя ни один бросок не даёт 3,5.

Практика. Вычислите число сочетаний; составьте распределение числа успехов в двух испытаниях; оцените отклонение по неравенству Чебышёва.

Проверка охвата

Страница покрывает тематические блоки федеральной программы указанного класса. Это карта содержания, а не обещание отдельного задания на ОГЭ. Экзаменационные материалы помечены и собраны в режиме «ОГЭ сначала».