Перед расчётом выпишите, что считается одним элементом: символ, пиксель, звуковой отсчёт или файл. Затем приведите величины к согласованным единицам. Формулы ниже описывают несжатые данные без заголовков и служебной информации, если условие не уточняет иное.

Единицы информации

Основные соотношения:

[ 1\ \text{байт}=8\ \text{бит},\qquad 1\ \text{КиБ}=1024\ \text{байта}, ]

[ 1\ \text{МиБ}=1024\ \text{КиБ},\qquad 1\ \text{ГиБ}=1024\ \text{МиБ}. ]

В школьном условии обозначения Кбайт, Мбайт и Гбайт часто используют для двоичных кратных. Если в условии прямо задан множитель 1000, применяйте его.

Пример. Переведём 3 КиБ в биты:

[ 3\cdot1024\cdot8=24576\ \text{бит}. ]

Сначала перевели кибибайты в байты, затем байты в биты. Делить на 8 здесь нельзя: исходная единица крупнее бита.

Мощность алфавита и длина кода

Если равномерный двоичный код имеет длину $i$ бит, он содержит не более

[ N=2^i ]

разных кодовых слов. Чтобы найти минимальную длину кода для алфавита мощности $N$, выбирают наименьшее целое $i$, при котором $2^i\ge N$.

Пример. Нужно закодировать 70 символов. Шести бит недостаточно: $2^6=64<70$. Семи бит достаточно: $2^7=128\ge70$. Ответ: 7 бит на символ.

Если слово длины $K$ составляют из алфавита мощности $N$ и на каждом месте разрешён любой символ, число слов равно

[ Q=N^K. ]

Пример. Из четырёх символов составляют коды длины 3. Повторы разрешены:

[ Q=4^3=64. ]

Формула неприменима, если условие запрещает повторы или вводит ограничения на соседние символы: такие случаи считают отдельно.

Объём текста

Если в сообщении $K$ символов, а один символ занимает $i$ бит, то

[ I=K\cdot i. ]

$I$ — объём сообщения, $K$ — число символов, $i$ — длина кода одного символа. Пробелы и знаки препинания тоже считают символами, если условие не говорит обратного.

Пример. В тексте 600 символов, по 16 бит каждый:

[ I=600\cdot16=9600\ \text{бит}. ]

Переведём в байты:

[ 9600:8=1200\ \text{байт}. ]

Если известны объём и длина сообщения, размер одного символа находят обратным действием: $i=I/K$.

Передача данных

При постоянной скорости действуют три связанные формулы:

[ I=v\cdot t,\qquad v=\frac{I}{t},\qquad t=\frac{I}{v}. ]

$I$ — объём данных, $v$ — скорость передачи, $t$ — время. Объём и скорость должны использовать одну единицу информации.

Пример. Файл размером 6 МиБ передают со скоростью 3 Мибит/с. Сначала переведём объём в мебибиты:

[ 6\ \text{МиБ}\cdot8=48\ \text{Мибит}. ]

Теперь найдём время:

[ t=\frac{48}{3}=16\ \text{с}. ]

Это расчёт без задержек и служебного трафика. Их учитывают только по прямому указанию.

Растровое изображение

Для палитры из $N$ цветов минимальную глубину цвета $i$ выбирают из условия $2^i\ge N$. Объём несжатого растра:

[ I=W\cdot H\cdot i, ]

где $W$ и $H$ — ширина и высота в пикселях, $i$ — бит на пиксель.

Пример. Изображение $800\times600$ пикселей использует 16 цветов. Для 16 цветов нужно $i=4$ бита, потому что $2^4=16$. Тогда

[ I=800\cdot600\cdot4=1920000\ \text{бит}. ]

Переведём в байты и кибибайты:

[ 1920000:8=240000\ \text{байт}, ]

[ 240000:1024=234{,}375\ \text{КиБ}. ]

Формула не описывает векторное изображение и реальный сжатый файл JPEG или PNG без дополнительных данных.

Цвет RGB

Если каждый из трёх каналов RGB хранится в $b$ битах, глубина пикселя равна

[ i=3b. ]

Число возможных цветов равно $2^i$.

Пример. По 8 бит на красный, зелёный и синий каналы:

[ i=3\cdot8=24\ \text{бита},\qquad N=2^{24}=16777216. ]

Альфа-канал добавляют только тогда, когда он назван в условии.

Звуковой файл

Объём несжатой записи без заголовка:

[ I=f\cdot i\cdot c\cdot t. ]

$f$ — частота дискретизации в герцах, $i$ — разрядность одного отсчёта одного канала в битах, $c$ — число каналов, $t$ — время в секундах.

Пример. Запись длится 20 секунд, частота равна 8000 Гц, разрядность — 16 бит, звук стереофонический, поэтому $c=2$:

[ I=8000\cdot16\cdot2\cdot20=5120000\ \text{бит}. ]

Переведём результат:

[ 5120000:8=640000\ \text{байт}=625\ \text{КиБ}. ]

Для моно берут $c=1$. Коэффициент сжатия применяют после расчёта исходного объёма, если условие требует.

Системы счисления

Пусть $q$ — целое основание системы, $q\ge2$; $a_k$ — цифра разряда, $0\le a_k<q$; $n$ — номер старшего разряда. Тогда развёрнутая запись числа:

[ (a_na_{n-1}\ldots a_0)q=\sum{k=0}^{n}a_kq^k. ]

Пример. Переведём $132_5$ в десятичную систему:

[ 132_5=1\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0=25+15+2=42_{10}. ]

Для перевода целого десятичного числа в систему с основанием $q$ делите его на $q$ с остатком и читайте остатки снизу вверх. Число $42$ при делении на 2 даёт остатки $0,1,0,1,0,1$, поэтому $42_{10}=101010_2$.

Одна восьмеричная цифра соответствует трём битам, одна шестнадцатеричная — четырём:

[ 101010_2=52_8=2A_{16}. ]

Короткая проверка

Указано, что считается одним элементом?
Все величины приведены к битам или к байтам до подстановки?
Биты переведены в байты делением на 8 ровно один раз?
Для стереозвука учтены два канала?
Для палитры взята минимальная целая глубина цвета?
Не добавлено сжатие, которого нет в условии?
Результат проверен обратным действием?

Подробные объяснения: кодирование информации и системы счисления.

Источник

Охват тем 2.1–2.6 сверён с проектом кодификатора ОГЭ-2027 ФИПИ. Формулировки и примеры созданы FastLearn.