Формулы по информатике: кодирование, объём и скорость

Перед расчётом выпишите, что считается одним элементом: символ, пиксель, звуковой отсчёт или файл. Затем приведите величины к согласованным единицам. Формулы ниже описывают несжатые данные без заголовков и служебной информации, если условие не уточняет иное.

Основные соотношения:

В школьном условии обозначения Кбайт, Мбайт и Гбайт часто используют для двоичных кратных. Если в условии прямо задан множитель 1000, применяйте его.

Пример. Переведём 3 КиБ в биты:

Сначала перевели кибибайты в байты, затем байты в биты. Делить на 8 здесь нельзя: исходная единица крупнее бита.

Если равномерный двоичный код имеет длину $i$ бит, он содержит не более

разных кодовых слов. Чтобы найти минимальную длину кода для алфавита мощности $N$, выбирают наименьшее целое $i$, при котором $2^i\ge N$.

Пример. Нужно закодировать 70 символов. Шести бит недостаточно: $2^6=64<70$. Семи бит достаточно: $2^7=128\ge70$. Ответ: 7 бит на символ.

Если слово длины $K$ составляют из алфавита мощности $N$ и на каждом месте разрешён любой символ, число слов равно

Пример. Из четырёх символов составляют коды длины 3. Повторы разрешены:

Формула неприменима, если условие запрещает повторы или вводит ограничения на соседние символы: такие случаи считают отдельно.

Если в сообщении $K$ символов, а один символ занимает $i$ бит, то

$I$ — объём сообщения, $K$ — число символов, $i$ — длина кода одного символа. Пробелы и знаки препинания тоже считают символами, если условие не говорит обратного.

Пример. В тексте 600 символов, по 16 бит каждый:

Переведём в байты:

Если известны объём и длина сообщения, размер одного символа находят обратным действием: $i=I/K$.

При постоянной скорости действуют три связанные формулы:

$I$ — объём данных, $v$ — скорость передачи, $t$ — время. Объём и скорость должны использовать одну единицу информации.

Пример. Файл размером 6 МиБ передают со скоростью 3 Мибит/с. Сначала переведём объём в мебибиты:

Теперь найдём время:

Это расчёт без задержек и служебного трафика. Их учитывают только по прямому указанию.

Для палитры из $N$ цветов минимальную глубину цвета $i$ выбирают из условия $2^i\ge N$. Объём несжатого растра:

где $W$ и $H$ — ширина и высота в пикселях, $i$ — бит на пиксель.

Пример. Изображение $800\times600$ пикселей использует 16 цветов. Для 16 цветов нужно $i=4$ бита, потому что $2^4=16$. Тогда

Переведём в байты и кибибайты:

Формула не описывает векторное изображение и реальный сжатый файл JPEG или PNG без дополнительных данных.

Если каждый из трёх каналов RGB хранится в $b$ битах, глубина пикселя равна

Число возможных цветов равно $2^i$.

Пример. По 8 бит на красный, зелёный и синий каналы:

Альфа-канал добавляют только тогда, когда он назван в условии.

Объём несжатой записи без заголовка:

$f$ — частота дискретизации в герцах, $i$ — разрядность одного отсчёта одного канала в битах, $c$ — число каналов, $t$ — время в секундах.

Пример. Запись длится 20 секунд, частота равна 8000 Гц, разрядность — 16 бит, звук стереофонический, поэтому $c=2$:

Переведём результат:

Для моно берут $c=1$. Коэффициент сжатия применяют после расчёта исходного объёма, если условие требует.

Пусть $q$ — целое основание системы, $q\ge2$; $a_k$ — цифра разряда, $0\le a_k<q$; $n$ — номер старшего разряда. Тогда развёрнутая запись числа:

Пример. Переведём $132_5$ в десятичную систему:

Для перевода целого десятичного числа в систему с основанием $q$ делите его на $q$ с остатком и читайте остатки снизу вверх. Число $42$ при делении на 2 даёт остатки $0,1,0,1,0,1$, поэтому $42_{10}=101010_2$.

Одна восьмеричная цифра соответствует трём битам, одна шестнадцатеричная — четырём:

• Указано, что считается одним элементом?
• Все величины приведены к битам или к байтам до подстановки?
• Биты переведены в байты делением на 8 ровно один раз?
• Для стереозвука учтены два канала?
• Для палитры взята минимальная целая глубина цвета?
• Не добавлено сжатие, которого нет в условии?
• Результат проверен обратным действием?

Подробные объяснения: кодирование информации и системы счисления.

Охват тем 2.1–2.6 сверён с проектом кодификатора ОГЭ-2027 ФИПИ. Формулировки и примеры созданы FastLearn.