Числа в разных системах счисления

Система счисления задаёт правила записи чисел. В позиционной системе вклад цифры зависит от её места и основания системы. В непозиционной системе один и тот же знак обычно сохраняет значение независимо от позиции. На ОГЭ нужно понимать обе идеи и уверенно переводить целые числа между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами.

Основание всегда подписывайте у числа. Записи $1011_2$ и $1011_{10}$ выглядят одинаково, но обозначают разные значения.

В системе с основанием $q$ используют $q$ цифр от $0$ до $q-1$. Например, в пятеричной системе допустимы $0,1,2,3,4$, а цифра 5 недопустима. В шестнадцатеричной системе значения от 10 до 15 обозначают буквами:

Число в развёрнутой форме записывают как сумму цифр, умноженных на степени основания:

Пример. Переведём $(231)_5$ в десятичную систему:

Нулевой разряд всегда умножается на $q^0=1$. Пропуск этого шага часто меняет последнюю цифру ответа.

Чтобы перевести целое десятичное число в систему с основанием $q$:

1. разделите число на $q$ с остатком;
2. продолжайте делить целый частный на $q$;
3. закончите, когда частное станет нулём;
4. прочитайте остатки снизу вверх.

Для перевода $66_{10}$ в пятеричную систему получаем остатки $1,3,2$ при последовательных делениях. В обратном порядке это даёт $(231)_5$.

В римской записи основные знаки имеют значения

Меньший знак перед большим уменьшает значение пары, а после большего — увеличивает. Например,

Римская запись не подходит для обычного разрядного сложения и умножения: у неё нет основания и развёрнутой формы по степеням.

Для значений от 0 до 1024 полезно знать:

Чтобы получить двоичную запись, можно раскладывать число в сумму степеней двойки. Например,

поэтому

Одна восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам, потому что $8=2^3$. Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём разрядам, потому что $16=2^4$.

Группы формируют справа налево. Неполную левую группу дополняют нулями:

Следовательно,

При обратном переводе каждую восьмеричную цифру заменяют тройкой битов, а шестнадцатеричную — четвёркой. Нули слева после объединения можно убрать, если не требуется фиксированная длина записи.

При сложении действуют правила

Пример.

Проверка в десятичной системе:

При вычитании из нулевого разряда занимают единицу в соседнем старшем разряде; в текущем разряде это даёт $10_2$. Проверять арифметику удобнее обратным переводом в десятичную систему.

Вычислите десятичное значение выражения

Переведём каждое число:

Тогда

Ответ: $66_{10}$.

• У каждой записи указано основание?
• Все цифры допустимы для своего основания?
• В развёрнутой форме последний разряд умножен на $q^0$?
• Остатки после деления прочитаны снизу вверх?
• Двоичные группы сформированы справа налево?
• Итог подтверждён обратным переводом?

Содержание тем 2.5–2.6 сверено с проектом кодификатора ОГЭ-2027 ФИПИ. Все вычисления и примеры составлены FastLearn.