Все формулы ОГЭ по математике: справочник с условиями применения

Статья охватывает формулы по всем разделам проекта кодификатора ОГЭ-2027 по математике: числам, алгебре, функциям, геометрии, координатам, вероятности, статистике и прикладным задачам. Документы 2027 года пока имеют статус проекта ФИПИ. После публикации окончательной версии набор надо сверить повторно.

Формулы разделены на два уровня. Экзаменационная основа соответствует темам кодификатора и формулам, которые ученик должен уметь применять. Часть из них напечатана в справочных материалах варианта, но это не отменяет умения выбрать формулу и проверить условия. Дополнительные геометрические приёмы помогают в заданиях № 23–25. Они выводятся из школьных теорем и требуют обоснования в развёрнутом решении.

Касательная к окружности прямо названа в проекте кодификатора 2027 года. В официальной демоверсии 2026 года задание № 16 также проверяет свойства касательных. Поэтому касательные, секущие и связанные с ними степенные соотношения нельзя считать чужими школьной программе; при этом конкретная формула может не быть напечатана на справочном листе.

В каждой группе указаны обозначения, единицы, условия и численный пример. Если величины описывают длину, время, массу, площадь или объём, до подстановки приведите их к согласованным единицам. Буквы в разных задачах могут называться иначе: ориентируйтесь на смысл величины, а не на конкретную букву.

Обозначения и единицы. $a,c$ — числители, $b,d$ — знаменатели. Дроби безразмерны, если числитель и знаменатель выражены в одинаковых единицах.

Когда применять. Всегда нужны $b\ne0$ и $d\ne0$; при делении дополнительно $c\ne0$. Перед сложением или вычитанием приведите дроби к общему знаменателю.

Почему работает. Умножение числителя и знаменателя на одно ненулевое число не меняет дробь. Деление на ненулевую дробь заменяется умножением на обратную.

Пример по шагам. Найдём $\frac23-\frac14$. 1) Общий знаменатель равен $12$. 2) Получаем $\frac8{12}-\frac3{12}$. 3) Вычитаем числители: $\frac5{12}$.

Обозначения и единицы. В пропорции $a,c$ — сравниваемые величины, $b,d$ — их основания; $k$ — постоянный коэффициент. Единицы $k$ зависят от задачи: например, для цены $k$ измеряется в рублях за единицу товара.

Когда применять. В знаменателях не должно быть нуля. Модель $y=kx$ подходит, когда отношение $y/x$ постоянно; модель $y=k/x$ — когда произведение $xy$ постоянно.

Почему работает. Перемножение крест-накрест — умножение обеих частей равенства на общий ненулевой знаменатель $bd$.

Пример по шагам. Из $\frac3x=\frac6{10}$: 1) умножаем крест-накрест, $3\cdot10=6x$; 2) получаем $30=6x$; 3) делим на $6$, поэтому $x=5$.

Обозначения и единицы. $x$ — целое, $p$ — число процентов, $y$ — часть. $x$ и $y$ измеряются в одних единицах; $p$ безразмерно.

Когда применять. Для восстановления целого требуется $p\ne0$. Сначала установите базу процента: именно она обозначена через $x$.

Почему работает. Один процент — сотая часть целого, поэтому $p\%$ соответствует множителю $p/100$.

Пример по шагам. Найдём $15\%$ от $240$. 1) Записываем $15/100=0{,}15$. 2) Умножаем $240\cdot0{,}15=36$. 3) Ответ имеет те же единицы, что и $240$.

Обозначения и единицы. $x$ — исходная величина, $p$ — изменение в процентах, результат измеряется в единицах $x$.

Когда применять. Для обычной скидки или уменьшения неотрицательной величины $0\le p\le100$. Последовательные изменения нельзя складывать: каждый процент считают от нового значения.

Почему работает. После роста остаётся исходное целое $1$ и добавляется доля $p/100$; после снижения эта доля вычитается.

Пример по шагам. Цена $800$ рублей снизилась на $15\%$. 1) Множитель равен $1-0{,}15=0{,}85$. 2) Новая цена: $800\cdot0{,}85=680$. 3) Скидка равна $800-680=120$ рублей.

Если величина каждый период растёт на $p\%$, то

При снижении на $p\%$ знак перед дробью меняется на минус.

Обозначения и единицы. $x_0$ — начальное значение, $x_n$ — значение через $n$ периодов, $p$ — процент за один период, $n$ — натуральное число периодов.

Когда применять. Процент в каждом периоде одинаков и считается от нового значения; дополнительных поступлений и списаний нет.

Почему работает. Один и тот же процентный множитель применяется $n$ раз, поэтому возникает степень.

Пример по шагам. Вклад $10\,000$ рублей растёт на $10\%$ два года. 1) Множитель за год $1{,}1$. 2) За два года он равен $1{,}1^2=1{,}21$. 3) Сумма: $10\,000\cdot1{,}21=12\,100$ рублей.

Обозначения и единицы. $x_{\text{стар}}$ — база сравнения, $x_{\text{нов}}$ — новое значение, $p$ — изменение в процентах.

Когда применять. База сравнения положительна: $x_{\text{стар}}>0$. Тогда положительный результат означает рост, отрицательный — снижение.

Почему работает. Разность показывает абсолютное изменение, а деление на старое значение переводит его в долю исходной величины.

Пример по шагам. Значение выросло с $80$ до $100$. 1) Разность $100-80=20$. 2) Доля роста $20/80=0{,}25$. 3) $0{,}25\cdot100\%=25\%$.

Обозначения и единицы. $x_1,\dots,x_n$ — наблюдения, $n\in\mathbb N$, $n>0$ — их количество, $\overline x$ — среднее в тех же единицах.

Когда применять. Все наблюдения имеют одинаковый вес. Если значения встречаются разное число раз, используйте средневзвешенное.

Почему работает. Сумма распределяется поровну между $n$ наблюдениями.

Пример по шагам. Для $4,7,10$: 1) сумма $4+7+10=21$; 2) чисел три; 3) $\overline x=21/3=7$.

Обозначения и единицы. $|x|$ — расстояние от $x$ до нуля, $d(a,b)$ — расстояние между числами $a$ и $b$.

Когда применять. Модуль всегда неотрицателен. В уравнении $|x|=c$ при $c>0$ получаются два случая: $x=c$ и $x=-c$.

Почему работает. Расстояние не зависит от направления на координатной прямой, поэтому отрицательная разность меняет знак.

Пример по шагам. Между $-3$ и $5$: 1) разность $-3-5=-8$; 2) берём модуль $|-8|=8$; 3) расстояние равно $8$ единицам.

Обозначения и единицы. $N$ — ненулевое число, $a$ — мантисса, $n$ — целый показатель степени. Единица измерения числа сохраняется.

Когда применять. Для нуля стандартный вид с условием $1\le|a|<10$ не задают.

Почему работает. Умножение на $10^n$ сдвигает десятичную запятую на $n$ разрядов.

Пример по шагам. Для $0{,}00042$: 1) переносим запятую на четыре знака вправо и получаем $4{,}2$; 2) компенсируем перенос множителем $10^{-4}$; 3) $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$.

для положительных целых $a$ и $b$.

Обозначения и единицы. НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное. Все величины — положительные целые числа.

Когда применять. Формула связывает НОД и НОК ровно двух положительных чисел. Для нескольких чисел их находят последовательно.

Почему работает. В разложениях на простые множители НОД берёт меньшие показатели, НОК — большие; их сумма равна сумме показателей в $ab$.

Пример по шагам. Для $84$ и $126$: 1) $\operatorname{НОД}=42$; 2) $\operatorname{НОК}=84\cdot126/42$; 3) получаем $252$.

Обозначения и единицы. $x$ — точное значение, $\widetilde x$ — приближённое, $\Delta$ — абсолютная погрешность в единицах $x$, $\delta$ — относительная погрешность в процентах.

Когда применять. Для относительной погрешности требуется $x\ne0$. Если точное значение неизвестно, по условию ищут границу погрешности, а не точное $\Delta$.

Почему работает. Абсолютная погрешность измеряет расстояние между числами, относительная сравнивает это расстояние с размером точной величины.

Пример по шагам. $12{,}746$ округлили до $12{,}7$. 1) $\Delta=|12{,}746-12{,}7|=0{,}046$. 2) $\delta=0{,}046/12{,}746\cdot100\%$. 3) Получаем примерно $0{,}36\%$.

Обозначения и единицы. $a,b,c$ — числа или выражения, для которых определены указанные действия.

Когда применять. Закон раскрывает скобки и работает справа налево для вынесения общего множителя.

Почему работает. Умножается каждое слагаемое внутри скобок.

Пример по шагам. Разложим $6x+9$. 1) Общий множитель коэффициентов равен $3$. 2) $6x=3\cdot2x$, $9=3\cdot3$. 3) Получаем $3(2x+3)$.

Обозначения и единицы. $a$ и $b$ — числа или алгебраические выражения.

Когда применять. Первые две формулы раскрывают квадрат двучлена или собирают полный квадрат. Третья раскладывает разность двух квадратов.

Почему работает. Например, $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$; после распределения получаются $a^2+ab+ab+b^2$.

Пример по шагам. Раскроем $(2x-3)^2$. 1) $a=2x$, $b=3$. 2) $a^2=4x^2$, $-2ab=-12x$, $b^2=9$. 3) Ответ: $4x^2-12x+9$.

Условие. Между двумя полными квадратами стоит минус. Сумма $a^2+b^2$ в действительных числах по этой формуле не раскладывается.

Пример по шагам. Для $9x^2-25$: 1) $9x^2=(3x)^2$; 2) $25=5^2$; 3) $(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5)$.

Обозначения и единицы. $a,b$ — числа или выражения.

Когда применять. Эти тождества полезны при разложении многочленов и решении уравнений. На проектном справочном листе 2027 года они не напечатаны.

Почему работает. Раскрытие произведений в правой части возвращает исходный куб или сумму кубов.

Пример по шагам. Разложим $x^3-8$. 1) $8=2^3$. 2) Применяем разность кубов. 3) $x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Обозначения и единицы. $a,b$ — основания, $m,n$ — целые показатели. В школьных преобразованиях основания и значения выражений рассматривают как действительные числа.

Когда применять. Нулевое основание допустимо только при положительном показателе; $0^0$ не определено. Для нулевого или отрицательного показателя соответствующее основание не равно нулю. В дроби $b\ne0$, а при отрицательном $n$ дополнительно $a\ne0$. Проектный лист ФИПИ формулирует свойства при положительных основаниях.

Почему работает. При умножении одинаковых оснований объединяются одинаковые множители; при делении часть множителей сокращается.

Пример по шагам. $2^5\cdot2^{-3}$: 1) складываем показатели $5+(-3)=2$; 2) получаем $2^2$; 3) ответ $4$.

Обозначения и единицы. $a$ — положительное основание, $m$ — целое, $n$ — натуральный знаменатель показателя.

Когда применять. Для нулевого или отрицательного основания область допустимых значений проверяют отдельно. Корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не определён.

Почему работает. Возведение результата в степень $n$ даёт $a^m$.

Пример по шагам. $16^{3/4}$: 1) $\sqrt[4]{16}=2$; 2) возводим в куб, $2^3=8$; 3) значит $16^{3/4}=8$.

Обозначения и единицы. $\sqrt a$ — неотрицательный арифметический корень. Если $a$ имеет квадратные единицы, корень имеет исходные линейные единицы.

Когда применять. Подкоренные выражения должны удовлетворять указанным ограничениям. Равенство $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ обычно неверно.

Почему работает. Квадрат $\sqrt a\sqrt b$ равен $ab$, а оба множителя неотрицательны.

Пример по шагам. Упростим $\sqrt{72}$. 1) $72=36\cdot2$. 2) $\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt2$. 3) Ответ: $6\sqrt2$.

если $C$ — общий множитель всего числителя и знаменателя.

Обозначения и единицы. $A,B,C$ — числа или выражения; $B$ и $C$ не равны нулю.

Когда применять. Сокращают множители, а не отдельные слагаемые. Ограничения исходной дроби сохраняются после сокращения.

Почему работает. Деление числителя и знаменателя на один ненулевой множитель не меняет значение дроби.

Пример по шагам. Упростим $\frac{x^2-9}{x-3}$. 1) $x^2-9=(x-3)(x+3)$. 2) При $x\ne3$ сокращаем $x-3$. 3) Получаем $x+3$, но значение $x=3$ остаётся запрещённым.

Обозначения и единицы. $x$ — неизвестное, $a$ — ненулевой коэффициент, $b,c$ — известные числа.

Когда применять. После раскрытия скобок и приведения подобных уравнение должно быть линейным. При $a=0$ отдельно проверяют, верно ли равенство $b=c$.

Почему работает. Из обеих частей вычитают $b$, затем обе части делят на одно ненулевое число $a$.

Пример по шагам. $3x-5=10$: 1) прибавляем $5$, получаем $3x=15$; 2) делим на $3$; 3) $x=5$.

Обозначения и единицы. $a,b,c$ — коэффициенты уравнения $ax^2+bx+c=0$, $D$ — дискриминант, $x_1,x_2$ — корни.

Когда применять. При $D>0$ есть два действительных корня, при $D=0$ — один, при $D<0$ действительных корней нет.

Почему работает. Формула получается выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене.

Пример по шагам. $2x^2-3x+1=0$: 1) $D=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=1$. 2) $x=(3\pm1)/4$. 3) Корни равны $1/2$ и $1$.

При единственном корне $x_0$: $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$.

Обозначения и единицы. $a\ne0$, $x_1,x_2$ — действительные корни трёхчлена.

Когда применять. Для первой записи нужны два корня с учётом кратности. Если действительных корней нет, над действительными числами такое разложение невозможно.

Почему работает. Каждый множитель обращается в ноль при соответствующем корне, а коэффициент $a$ сохраняет старший член.

Пример по шагам. $2x^2-6x+4$: 1) корни уравнения равны $1$ и $2$. 2) Сохраняем старший коэффициент $2$. 3) $2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)$.

Обозначения и единицы. $x_1,x_2$ — корни $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$.

Когда применять. Теорема связывает корни с коэффициентами, если корни существуют в рассматриваемой числовой области.

Почему работает. Сравните коэффициенты в равенстве $a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c$.

Пример по шагам. Для $x^2-7x+10=0$: 1) сумма корней должна быть $7$; 2) произведение — $10$; 3) этим условиям отвечают $2$ и $5$.

Обозначения и единицы. $x$ — неизвестное, $a$ — ненулевой коэффициент, $b$ — граница.

Когда применять. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный.

Почему работает. Умножение на отрицательное число отражает точки числовой прямой относительно нуля и меняет их порядок.

Пример по шагам. $-3x\le12$: 1) делим обе части на $-3$; 2) меняем $\le$ на $\ge$; 3) получаем $x\ge-4$.

Обозначения и единицы. $x,y$ — неизвестные, остальные буквы — коэффициенты. В прикладной задаче каждое уравнение должно быть однородно по единицам.

Когда применять. Используйте подстановку или сложение. Полученную пару проверяют в обоих исходных уравнениях.

Почему работает. Равносильные преобразования сохраняют все общие решения двух уравнений.

Пример по шагам. $x+y=7$, $x-y=1$. 1) Складываем уравнения: $2x=8$. 2) $x=4$. 3) Из первого уравнения $y=3$; пара $(4;3)$ удовлетворяет обоим.

Обозначения и единицы. $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член, $d$ — постоянная разность, $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

Когда применять. Для всех соседних членов разность $a_{k+1}-a_k$ одинакова.

Почему работает. До $n$-го члена выполнено $n-1$ одинаковых прибавлений; попарные суммы первого с последним одинаковы.

Пример по шагам. $a_1=2$, $d=3$, $n=10$. 1) $a_{10}=2+3\cdot9=29$. 2) $S_{10}=10(2+29)/2$. 3) $S_{10}=155$.

При $q=1$ выполняется $S_n=nb_1$.

Обозначения и единицы. $b_1\ne0$ — первый член, $q\ne0$ — постоянный знаменатель, $n\in\mathbb N$, $n\ge1$ — номер члена, $b_n$ — $n$-й член, $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

Когда применять. Отношение $b_{k+1}/b_k$ постоянно там, где предыдущий член не равен нулю.

Почему работает. До $n$-го члена выполнено $n-1$ умножений на $q$; формула суммы следует из вычитания $S_n$ из $qS_n$.

Пример по шагам. $b_1=3$, $q=2$, $n=4$. 1) $b_4=3\cdot2^3=24$. 2) $S_4=3(2^4-1)/(2-1)$. 3) $S_4=45$.

Обозначения и единицы. $x$ — аргумент, $y$ — значение функции, $k$ — угловой коэффициент, $b$ — значение при $x=0$.

Когда применять. Две разные по $x$ точки задают одну прямую. Нуль функции при $k\ne0$ равен $-b/k$.

Почему работает. $k$ показывает изменение $y$ при увеличении $x$ на единицу.

Пример по шагам. Прямая проходит через $(1;3)$ и $(4;9)$. 1) $k=(9-3)/(4-1)=2$. 2) Подставляем $(1;3)$: $3=2\cdot1+b$. 3) $b=1$, значит $y=2x+1$.

Для $y=ax^2+bx+c$, $a\ne0$,

Обозначения и единицы. $(x_0;y_0)$ — вершина параболы, $a,b,c$ — коэффициенты функции.

Когда применять. При $a>0$ вершина задаёт минимум, при $a<0$ — максимум. Значение $y_0$ находят подстановкой, а не отдельной догадкой.

Почему работает. Ось параболы проходит посередине между корнями; та же координата получается при выделении полного квадрата.

Пример по шагам. $y=x^2-6x+5$. 1) $x_0=-(-6)/(2\cdot1)=3$. 2) $y_0=3^2-6\cdot3+5=-4$. 3) Вершина $(3;-4)$.

Обозначения и единицы. $k=xy$ — постоянное произведение, $x$ и $y$ — обратно пропорциональные величины.

Когда применять. При увеличении $x$ в несколько раз $y$ уменьшается во столько же раз. При $k>0$ ветви гиперболы лежат в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV.

Почему работает. Произведение $xy$ остаётся постоянным и равным $k$.

Пример по шагам. $y=12/x$, $x=3$. 1) Подставляем $x$. 2) $y=12/3$. 3) Получаем $y=4$ и проверяем $xy=3\cdot4=12$.

Обозначения и единицы. $a$ — горизонтальный сдвиг, $b$ — вертикальный, $k$ — вертикальный масштаб.

Когда применять. $f(x-a)$ сдвигает график вправо на $a$ при $a>0$; $f(x)+b$ — вверх на $b$; множитель $k<0$ дополнительно отражает график относительно оси $Ox$.

Почему работает. Одинаковое значение старой функции достигается при новом аргументе $x-a$; добавление $b$ меняет каждую ординату на одно число.

Пример по шагам. Из $y=x^2$ получим $y=(x-2)^2-3$. 1) $x-2$ сдвигает график вправо на $2$. 2) $-3$ сдвигает вниз на $3$. 3) Вершина переходит из $(0;0)$ в $(2;-3)$.

Обозначения и единицы. $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время. Например, километры, километры в час и часы.

Когда применять. Скорость на рассматриваемом участке постоянна. Для движения по одной прямой навстречу относительная скорость равна сумме скоростей, а при движении в одном направлении — модулю их разности.

Почему работает. Скорость показывает путь за одну единицу времени.

Пример по шагам. Автомобиль едет $2{,}5$ часа со скоростью $60$ км/ч. 1) Единицы согласованы. 2) $s=60\cdot2{,}5$. 3) $s=150$ км.

Обозначения и единицы. $A$ — объём работы, $p$ — производительность за единицу времени, $t$ — время. Если вся работа принята за $1$, исполнитель со временем $t_i$ имеет производительность $1/t_i$.

Когда применять. Производительности постоянны, исполнители работают одновременно и независимо.

Почему работает. За одно и то же время выполненные доли работы складываются.

Пример по шагам. Один выполняет работу за $6$ часов, другой за $3$. 1) Их скорости $1/6$ и $1/3$ работы в час. 2) Вместе $1/6+1/3=1/2$. 3) Время на одну работу: $1:(1/2)=2$ часа.

Обозначения и единицы. $p$ — массовая доля вещества в процентах, $0\le p\le100$; массы вещества и смеси выражены в одинаковых единицах.

Когда применять. При смешивании без химической реакции и потерь сохраняется масса вещества: суммы до и после смешивания равны.

Почему работает. Концентрация — доля вещества в общей массе смеси.

Пример по шагам. В $300$ г раствора $20\%$ вещества. 1) $20\%=0{,}2$. 2) $m=0{,}2\cdot300$. 3) В растворе $60$ г вещества.

Обозначения и единицы. $\rho$ — плотность, $m$ — масса, $V$ — объём. Например, кг/м$^3$, кг и м$^3$.

Когда применять. Тело или вещество в модели имеет постоянную среднюю плотность; $V\ne0$, а при поиске объёма $\rho\ne0$.

Почему работает. Плотность показывает массу единицы объёма.

Пример по шагам. $\rho=800$ кг/м$^3$, $V=0{,}05$ м$^3$. 1) Единицы согласованы. 2) $m=800\cdot0{,}05$. 3) $m=40$ кг.

Универсальной вычислительной формулы здесь нет: задача даёт зависимость, а ученик выражает нужную величину и подставляет данные.

Обозначения и единицы. Их определяет условие. До вычислений выпишите единицы каждой величины.

Когда применять. Проверьте знаменатели, подкоренные выражения и физический смысл результата. Отрицательные числа подставляйте в скобках.

Почему работает. Формула задаёт равенство между величинами; равносильные преобразования позволяют выразить неизвестную.

Пример по шагам. Из $E=mv^2/2$ при $E=240\,000$ Дж и $m=1200$ кг: 1) $v^2=2E/m$. 2) $v^2=480\,000/1200=400$. 3) Скорость неотрицательна, поэтому $v=20$ м/с.

Обозначения и единицы. $\alpha,\beta,\gamma$ — градусные меры углов.

Когда применять. Нужны соответствующие геометрические условия. При параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны, а сумма односторонних равна $180^\circ$.

Почему работает. Смежные углы образуют развёрнутый угол; равенства при параллельных прямых следуют из наложения направлений.

Пример по шагам. Смежный с углом $68^\circ$: 1) их сумма $180^\circ$; 2) вычитаем $68^\circ$; 3) получаем $112^\circ$.

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Обозначения и единицы. $\alpha,\beta,\gamma$ — внутренние углы треугольника в градусах.

Когда применять. Три угла относятся к одному плоскому треугольнику.

Почему работает. Через вершину можно провести прямую, параллельную противоположной стороне, и собрать три угла в развёрнутый.

Пример по шагам. Даны $47^\circ$ и $63^\circ$. 1) Их сумма $110^\circ$. 2) Третий угол $180^\circ-110^\circ$. 3) Ответ $70^\circ$.

Обозначения и единицы. $a,b,c$ — длины сторон в одинаковых единицах.

Когда применять. Неравенство проверяет существование невырожденного треугольника и возможный диапазон третьей стороны.

Почему работает. Прямой отрезок короче ломаной между теми же точками.

Пример по шагам. Для сторон $5$ и $8$: 1) $|8-5|=3$. 2) $5+8=13$. 3) Третья сторона должна удовлетворять $3<c<13$; длина $12$ подходит, $13$ — нет.

Для правильного $n$-угольника

Обозначения и единицы. $n\ge3$ — число сторон, $\Sigma_n$ — сумма внутренних углов, $\alpha$ — один внутренний угол, $\varphi$ — центральный угол.

Когда применять. Первая формула относится к выпуклому многоугольнику, две последние — к правильному.

Почему работает. Диагонали из одной вершины делят многоугольник на $n-2$ треугольника.

Пример по шагам. Для правильного шестиугольника: 1) $\Sigma_6=180^\circ\cdot4=720^\circ$. 2) $\alpha=720^\circ/6$. 3) $\alpha=120^\circ$.

Обозначения и единицы. $a,b,c$ — стороны, $n$ — число сторон правильного многоугольника, $P$ — периметр в линейных единицах.

Когда применять. Складывайте длины всей границы фигуры; одинаковые стороны можно учитывать множителем.

Почему работает. Периметр по определению равен длине замкнутой границы.

Пример по шагам. Прямоугольник $7$ см на $4$ см: 1) складываем соседние стороны $7+4=11$. 2) Противоположные стороны равны. 3) $P=2\cdot11=22$ см.

Обозначения и единицы. $M,N$ — середины двух сторон треугольника, $AC$ — третья сторона; длины выражены одинаково.

Когда применять. Обе точки должны быть серединами сторон одного треугольника.

Почему работает. Малый треугольник подобен исходному с коэффициентом $1/2$.

Пример по шагам. $AC=14$ см. 1) Средняя линия равна половине третьей стороны. 2) $MN=14/2$. 3) $MN=7$ см.

Обозначения и единицы. $a,b$ — основания трапеции, $m$ — отрезок между серединами боковых сторон; все величины линейные.

Когда применять. Отрезок должен соединять середины боковых сторон и быть параллельным основаниям.

Почему работает. Средняя линия состоит из половин проекций оснований или выводится через средние линии двух треугольников.

Пример по шагам. Основания $6$ см и $10$ см. 1) Складываем: $16$ см. 2) Делим пополам. 3) $m=8$ см.

Обозначения и единицы. $a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Когда применять. Угол между катетами равен $90^\circ$. Обратная теорема позволяет подтвердить прямой угол.

Почему работает. Площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Пример по шагам. Катеты $5$ и $12$. 1) $c^2=5^2+12^2=25+144=169$. 2) $c=\sqrt{169}$. 3) $c=13$.

Обозначения и единицы. $\alpha$ — острый угол, $a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий, $c$ — гипотенуза. Отношения безразмерны.

Когда применять. Треугольник прямоугольный; катеты называют относительно выбранного угла.

Почему работает. Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны, поэтому отношения сторон постоянны.

Пример по шагам. $\sin\alpha=3/7$, гипотенуза $21$. 1) $a/21=3/7$. 2) $a=21\cdot3/7$. 3) $a=9$.

Обозначения и единицы. $\alpha$ — угол, синус и косинус — безразмерные отношения.

Когда применять. Тождество верно для любого угла, для которого определены синус и косинус. В треугольнике знак корня выбирают по виду угла.

Почему работает. После деления равенства Пифагора $a^2+b^2=c^2$ на $c^2$ получаются квадраты синуса и косинуса.

Пример по шагам. $\sin\alpha=3/5$, угол острый. 1) $\cos^2\alpha=1-9/25=16/25$. 2) Косинус острого угла положителен. 3) $\cos\alpha=4/5$.

Обозначения и единицы. $a,b,c$ — стороны треугольника, $\gamma$ — угол между $a$ и $b$, противолежащий стороне $c$.

Когда применять. Известны две стороны и угол между ними либо три стороны. При $\gamma=90^\circ$ формула становится теоремой Пифагора.

Почему работает. Формула следует из проекции одной стороны на другую и теоремы Пифагора.

Пример по шагам. $a=5$, $b=7$, $\gamma=60^\circ$. 1) $\cos60^\circ=1/2$. 2) $c^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot1/2=39$. 3) $c=\sqrt{39}$.

Обозначения и единицы. $a,b,c$ — стороны напротив углов $\alpha,\beta,\gamma$, $R$ — радиус описанной окружности.

Когда применять. Должна быть известна пара «сторона — противолежащий угол» и ещё одна сторона или угол.

Почему работает. Каждая сторона — хорда описанной окружности и равна $2R$ умножить на синус вписанного угла, который на неё опирается.

Пример по шагам. $a=6$, $\alpha=30^\circ$, $\beta=90^\circ$. 1) $a/\sin30^\circ=6/(1/2)=12$. 2) $b/\sin90^\circ=12$. 3) $b=12$.

Обозначения и единицы. $a,b$ — соседние стороны, $S$ — площадь в квадратных единицах.

Когда применять. У прямоугольника все углы прямые; квадрат дополнительно имеет равные стороны.

Почему работает. Фигура разбивается на $a\cdot b$ единичных квадратов.

Пример по шагам. Прямоугольник $7$ см на $4$ см. 1) Умножаем соседние стороны. 2) $S=7\cdot4$. 3) $S=28$ см$^2$.