Математика: 8-й класс — карта программы

Углублённый курс 8-го класса соединяет квадратные уравнения, строгие неравенства и свойства четырёхугольников.

Это карта углублённой программы, а не полный урок по каждой теме. Темы сверены с Федеральной рабочей программой «Математика. 7–9 классы», углублённый уровень. Формулировки, примеры и задания FastLearn написаны самостоятельно. Материал ОГЭ остаётся первым в основном режиме библиотеки; эта страница открывается через фильтр «Вся программа» или поиск.

Читайте раздел по порядку: сначала список охвата, затем простое объяснение и пример. После этого выполните практику без подсказки. Кнопка «Объяснить с ИИ» рядом с темой передаёт в диалог только выбранный проверенный фрагмент.

Что входит в программу. Квадратные корни и действительные числа; преобразование радикалов; степени с целым показателем; делимость и диофантовы задачи; рациональные дроби и выделение целой части.

Просто. Иррациональное число нельзя точно записать конечной или периодической десятичной дробью. Алгебраическая дробь требует помнить исходные запреты знаменателя.

Пример. $\sqrt{72}=6\sqrt2$, а в $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ сохраняется условие $x\ne1$.

Практика. Упростите $\sqrt{48}$; выделите целую часть дроби; решите простое целочисленное уравнение перебором остатков.

Что входит в программу. Квадратные уравнения, теорема Виета, параметры и рациональные уравнения; доказательство неравенств и системы; прямая и обратная пропорциональность; $x^2$, $x^3$, $\sqrt x$, $k/x$, модуль и кусочные графики.

Просто. Дискриминант описывает число действительных корней, а график — положение параболы относительно оси. Неравенство сохраняет знак только при умножении на известное положительное число.

Пример. У $x^2-5x+6=0$ корни 2 и 3: их сумма 5, произведение 6.

Практика. Решите квадратное уравнение с параметром на один корень; сравните два графика; докажите неравенство выделением полного квадрата.

Что входит в программу. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция; признаки и свойства; средние линии; удвоение медианы; центр тяжести; теоремы Фалеса и Вариньона.

Просто. В теореме Вариньона середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм. Его стороны параллельны диагоналям исходной фигуры; выпуклость сама по себе не является главным механизмом доказательства.

Пример. Отрезок между серединами двух сторон треугольника параллелен третьей стороне. Применив это к четырём треугольникам вокруг диагоналей, получаем обе пары параллельных сторон.

Практика. Докажите теорему Вариньона для заданного четырёхугольника; найдите периметр полученного параллелограмма по диагоналям исходного.

Что входит в программу. Признаки подобия; площади; теорема Пифагора; значения тригонометрических функций для 30°, 45° и 60°; пропорциональные отрезки; центральные и вписанные углы; касательная, хорда и секущая; вписанные и описанные фигуры.

Просто. Подобие сохраняет углы и умножает все длины на один коэффициент. Площади при этом меняются в квадрате коэффициента.

Пример. Если коэффициент подобия равен 3, отношение площадей равно 9.

Практика. Найдите высоту прямоугольного треугольника; примените теорему о касательной и секущей; определите угол по дуге.

Что входит в программу. Подмножества, объединение, пересечение и дополнение; диаграммы Эйлера; правила суммы, произведения и включения-исключения; дисперсия и стандартное отклонение; деревья и планарные графы; операции над событиями, условная вероятность и независимость.

Просто. Условная вероятность пересчитывает долю внутри уже выбранного условия. Независимость означает, что знание одного события не меняет вероятность другого.

Пример. $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ при $P(B)>0$.

Практика. Постройте дерево двух испытаний; найдите условную вероятность; сравните два набора с одинаковым средним, но разным разбросом.

Страница покрывает тематические блоки федеральной программы указанного класса. Это карта содержания, а не обещание отдельного задания на ОГЭ. Экзаменационные материалы помечены и собраны в режиме «ОГЭ сначала».