Алгебра: выражения, уравнения, неравенства и последовательности

Буква обозначает число из допустимой области. Перед подстановкой упростите выражение, но сначала отметьте запреты исходной записи: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение чётной степени неотрицательно.

Он раскрывает скобки и выносит общий множитель. Например, $4x-12=4(x-3)$. При $x=-2$ выражение $3x^2-2x$ равно $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)=16$.

Степень $a^n$ с натуральным $n$ — произведение $n$ одинаковых множителей. Нулевая степень ненулевого числа равна $1$; отрицательная степень задаёт обратное число.

При делении $a\ne0$. Пример: $3^5/3^2=3^3=27$. Складывать показатели у разных оснований нельзя.

Для положительного основания рациональную степень определяют через корень:

Например, $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$. При нулевом или отрицательном основании область допустимых значений проверяют отдельно; отрицательная степень дополнительно требует ненулевого основания.

У подобных слагаемых одинаковая буквенная часть. После раскрытия скобок их коэффициенты складывают. Разложение на множители помогает сокращать дроби и решать уравнения.

Пример: $x^2-10x+25=(x-5)^2$. Средний член $2ab$ нельзя пропускать.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. Для дроби знаменатель не должен равняться нулю. Выпишите этот запрет до сокращения. При приведении дробей к общему знаменателю включите в него каждый необходимый множитель. Сокращать можно общий множитель всего числителя и знаменателя, а не отдельное слагаемое.

Пример. При $x\ne2$

Число $2$ остаётся запрещённым даже после упрощения: у исходной дроби при нём получается деление на ноль. При $x=5$ обе записи дают 7. А дробь $\frac{x+2}{x}$ сократить на $x$ нельзя: в числителе сумма, а не произведение с общим множителем $x$.

Арифметический корень натуральной степени $\sqrt[n]{a}$ при $a\ge0$ и $n\ge2$ — неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. Например, $\sqrt[5]{32}=2$, потому что $2^5=32$.

Для $a,b\ge0$ и $b>0$ верны свойства

Выносите из-под корня полный квадрат: $\sqrt{75}=5\sqrt3$. Складывать можно одинаковые радикалы: $4\sqrt3-\sqrt3=3\sqrt3$. Равенство $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ в общем случае неверно.

Равносильное преобразование сохраняет множество корней. К обеим частям можно прибавить одно выражение; обе части можно умножить на одно и то же ненулевое число. Деление на выражение с переменной требует отдельной проверки нулевого случая.

Пример: $x^2-5x+6=0$ имеет $D=1$, корни $2$ и $3$. Проверяйте найденные значения в исходном уравнении, особенно после возведения в квадрат или освобождения от знаменателей.

При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Для произведений и дробей используйте метод интервалов: отметьте нули числителя и запрещённые нули знаменателя, затем определите знак на каждом промежутке.

При $a>0$ из $ax>b$ следует $x>b/a$; при $a<0$ следует $x<b/a$. Например, $-3x\le12$ даёт $x\ge-4$.

Система означает пересечение решений. Нестрогая граница включается, если выражение в ней определено; нуль знаменателя не включается никогда.

Модель связывает величины из текста. Неизвестную нужно определить словами и ограничить по смыслу.

Если вся работа равна $1$, исполнитель со временем $t$ имеет производительность $1/t$. В смесях сохраняют массу вещества, в процентах явно называют базу. После решения вернитесь к тексту и исключите отрицательные скорости, времена и нецелое количество предметов, когда оно должно быть целым.

Последовательность задают формулой, рекуррентным правилом, таблицей или описанием. Индекс — номер члена. Например, для $a_n=3n-1$ пятый член равен $14$. Несколько первых чисел сами по себе не задают единственное правило.

Рекуррентное правило выражает следующий член через предыдущие. Например, $a_1=2$ и $a_{n+1}=a_n+3$ дают последовательность $2,5,8,11,\ldots$. Сначала нужен первый член, затем прибавляем 3 на каждом шаге. Формула $a_n=3n-1$ задаёт ту же последовательность сразу по номеру: $a_4=3\cdot4-1=11$.

Разность $d=a_{n+1}-a_n$ постоянна.

Знаменатель $q=b_{n+1}/b_n$ постоянен, если предыдущий член не равен нулю. При одном и том же процентном изменении в каждом периоде

для роста и

для снижения. Эти формулы применимы, когда процент каждый раз берут от нового значения и между периодами нет других изменений.

Для арифметической прогрессии $2,5,8,\ldots$ десятый член равен $2+3\cdot9=29$, а сумма первых десяти — $10(2+29)/2=155$.

Для геометрической прогрессии $3,6,12,\ldots$ четвёртый член равен $3\cdot2^3=24$, а сумма первых четырёх — $3+6+12+24=45$. При $q=1$ все члены равны и $S_n=nb_1$; формулу с делением на $q-1$ тогда не используют.

Проверьте себя на новой задаче: выпишите ОДЗ, разложите многочлен, решите уравнение и неравенство, составьте модель по тексту, найдите член и сумму прогрессии. Каждый переход объясните правилом, а не фразой «перенесли через знак».