Функции, координаты, статистика, вероятность и графы

Функция каждому допустимому $x$ сопоставляет одно значение $y$. По графику находят область определения, нули, знак, промежутки роста и убывания, наибольшие и наименьшие значения.

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты ($0;b$). При $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает. Нуль при $k\ne0$ равен $-b/k$.

Для $y=ax^2+bx+c$, $a\ne0$,

Если $a>0$, ветви направлены вверх; если $a<0$, вниз. Нули функции — корни $ax^2+bx+c=0$.

График не пересекает оси. При $k>0$ ветви лежат в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV.

Кусочную функцию строят по частям. Точку включают или исключают строго по условию соответствующего промежутка.

Большее число находится правее. Круглая скобка исключает границу промежутка, квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Например, $d(-2,5)=7$. Чтобы расположить $\sqrt{30}$, используйте $25<30<36$, откуда $5<\sqrt{30}<6$.

Для $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$

Пример: для $A(1;4)$, $B(7;-2)$ середина равна $M(4;1)$, а длина $AB=6\sqrt2$.

Вертикальная прямая не имеет конечного углового коэффициента.

Медиана — центральное значение упорядоченного ряда. При чётном количестве наблюдений это среднее двух центральных значений. В ряду (2,3,3,4,18) среднее равно $6$, медиана $3$, размах $16$. Выброс заметно влияет на среднее, но может не изменить медиану.

при $n$ равновозможных исходах и $m$ благоприятных. Всегда $0\le P(A)\le1$.

При двух бросках честного кубика вероятность хотя бы одной шестёрки равна $1-(5/6)^2=11/36$.

Формула требует независимости. Для несовместимых событий вероятности складывают; в общем случае пересечение нужно вычесть.

Правило произведения применяют к последовательным выборам: если первый шаг имеет $m$ вариантов, а после каждого из них второй — $n$, всего $mn$ исходов. Правило суммы используют для взаимоисключающих способов.

Перед подсчётом ответьте на два вопроса: важен ли порядок и разрешены ли повторы. Для небольшого числа исходов стройте дерево или таблицу. Например, из $3$ рубашек и $2$ пар брюк получается $3\cdot2=6$ комплектов.

Объединение $A\cup B$ означает «входит хотя бы в одно множество», пересечение $A\cap B$ — «входит в оба».

Пересечение вычитают один раз. Если шахматы выбрали $18$ учеников, робототехнику $12$, оба кружка $5$, хотя бы один кружок выбрали $25$.

Вершины обозначают объекты, рёбра — связи. Путь — последовательность соседних вершин. В ориентированном графе направление ребра важно.

Для неориентированного графа

Степень вершины $\deg v$ — число концов рёбер, подходящих к ней; петля даёт два конца. Обозначение $|E|$ означает число рёбер. В сумме степеней каждое ребро имеет два конца и поэтому учитывается дважды. Если сумма степеней равна $14$, в графе $7$ рёбер.

Постройте прямую по двум точкам, найдите вершину параболы, объясните выколотую точку кусочного графика, сравните среднее с медианой, посчитайте вероятность через дополнение и проверьте число рёбер по сумме степеней.