Геометрия ОГЭ: фигуры, теоремы и доказательства

Рисунок помогает найти идею, но не доказывает равенство, параллельность или прямой угол. Отмечайте только факты из условия и уже доказанные следствия.

Вертикальные углы равны, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие и соответственные углы равны, а сумма односторонних равна $180^\circ$. Верны и обратные признаки параллельности.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — его серединный перпендикуляр; равноудалённых от сторон угла — биссектриса.

Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам. Для прямоугольных треугольников используют также гипотенузу и катет. Подобие доказывают по двум углам, двум пропорциональным сторонам и углу между ними либо трём пропорциональным сторонам.

Обратная теорема позволяет подтвердить прямой угол. В треугольнике со сторонами (6,8,10) равенство $6^2+8^2=10^2$ выполняется.

Теорема косинусов связывает две стороны и угол между ними с третьей стороной. Теорема синусов связывает каждую сторону с противолежащим углом.

Если $AD$ — биссектриса угла $A$, то

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно служит высотой и биссектрисой. В произвольном треугольнике это неверно.

У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, противоположные углы равны, диагонали делятся пополам. У прямоугольника диагонали дополнительно равны. У ромба диагонали перпендикулярны и делят его углы. Квадрат сочетает свойства прямоугольника и ромба.

Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям.

Центральный угол равен дуге, а вписанный — половине дуги. Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.

Для секущих из одной точки $P$

Для касательной $PT$ и секущей $PAB$: $PT^2=PA\cdot PB$. Эти связи часто дают промежуточное отношение в задании № 25.

Высота перпендикулярна выбранному основанию. В синусной формуле угол лежит между указанными сторонами.

Если все длины подобных фигур увеличены в $k$ раз, периметры увеличиваются в $k$ раз, площади — в $k^2$.

Для рёбер $a$, $b$, $c$

У куба с ребром $a$ объём равен $a^3$. Например, параллелепипед с рёбрами 2, 3 и 5 имеет объём $2\cdot3\cdot5=30$ кубических единиц.

Вектор имеет длину и направление. Равные векторы имеют одинаковые координаты независимо от положения.

Векторы складывают по правилу треугольника или параллелограмма. Умножение на отрицательное число меняет направление на противоположное.

Ненулевые векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

На рисунке показан треугольник $ABC$: $A$ слева, $C$ справа на горизонтальном основании, $B$ сверху. Точка $H$ лежит на $AC$, а $BH\perp AC$. Знак прямого угла у $H$ подтверждает, что $BH$ — высота. Это текстовое описание сохраняет смысл, если изображение недоступно.

Для каждой новой задачи назовите фигуру, выпишите данные, укажите теорему и только потом считайте. Проверьте себя: докажите один признак подобия, объясните различие круга и окружности, выведите площадь трапеции через среднюю линию и решите задачу на степень точки.