Числа и вычисления: теория для ОГЭ

Натуральные числа используют для счёта. В задачах нужны делимость, простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Число делится на $2$, если последняя цифра чётная; на $5$, если оканчивается на $0$ или $5$; на $10$, если оканчивается на $0$. Для делимости на $3$ или $9$ проверяют сумму цифр. Простое число больше единицы имеет ровно два натуральных делителя.

Пример. Разложим $84=2^2\cdot3\cdot7$ и $126=2\cdot3^2\cdot7$. Тогда $\operatorname{НОД}(84,126)=2\cdot3\cdot7=42$, а $\operatorname{НОК}(84,126)=2^2\cdot3^2\cdot7=252$.

Проверка. Произведение НОД и НОК двух положительных чисел равно произведению самих чисел: $42\cdot252=84\cdot126$.

Обыкновенная дробь $\frac ab$ определена при $b\ne0$. При сложении нужен общий знаменатель; при умножении перемножают числители и знаменатели; при делении умножают на обратную ненулевую дробь.

Процент — сотая доля. Формула части:

Последовательные изменения считают множителями. Рост на $10\%$, а затем снижение на $10\%$ дают $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$, то есть итог на $1\%$ меньше исходного.

Пример. Товар стоил $800$ рублей. После скидки $15\%$ цена равна $800\cdot0{,}85=680$ рублей.

Рациональное число можно записать как $\frac mn$, где $m$ — целое, $n\ne0$. Конечная или периодическая десятичная дробь рациональна. Числа сравнивают на координатной прямой: правее лежит большее.

Модуль — расстояние до нуля, поэтому он неотрицателен. Расстояние между $a$ и $b$ равно $|a-b|$.

Пример. $|-7|=7$, а расстояние между $-7$ и $2$ равно $|-7-2|=9$.

Сокращать можно общий множитель всего числителя и знаменателя. В дроби $\frac{x^2-9}{x-3}$ сначала раскладывают числитель, а затем сокращают $x-3$ при $x\ne3$.

Действительные числа включают рациональные и иррациональные. Арифметический квадратный корень $\sqrt a$ определён при $a\ge0$ и всегда неотрицателен.

Например, при $x=-5$ левая часть равна $\sqrt{25}=5$, поэтому запись $\sqrt{x^2}=x$ без условия $x\ge0$ неверна.

Корень оценивают по соседним квадратам. Из $11^2=121<130<144=12^2$ следует $11<\sqrt{130}<12$.

Например, $3\,450\,000=3{,}45\cdot10^6$, а $0{,}0062=6{,}2\cdot10^{-3}$. Число 0 записывают отдельно: условие $1\le|a|<10$ для него выполнить нельзя.

Округляйте конечный результат до указанного разряда. Следующая цифра от $0$ до $4$ оставляет разряд без изменения, от $5$ до $9$ увеличивает его на единицу. Промежуточные значения лучше хранить точно.

где $x$ — точное значение, $\widetilde x$ — приближённое. Если $12{,}746$ округлить до десятых, получится $12{,}7$, а абсолютная погрешность равна $0{,}046$.

Прикидка ловит грубые ошибки. Произведение $19{,}8\cdot5{,}1$ близко к $20\cdot5=100$, поэтому ответ $10{,}098$ невозможен.

Ученик освоил раздел, если умеет разложить число на простые множители, выполнить действия с дробями, выбрать базу процента, оценить корень, объяснить $\sqrt{x^2}=|x|$ и проверить вычисление прикидкой.