Импульс: формула, направление и закон сохранения

Импульс помогает описывать короткие взаимодействия: удар мяча, столкновение тел, отдачу и реактивное движение. В таких задачах силы во время контакта могут быстро меняться, поэтому удобнее сравнить движение системы до и после взаимодействия.

Импульс тела — векторная величина. Он зависит от массы и скорости. Тяжёлая тележка при той же скорости имеет больший импульс; одна и та же тележка после разворота получает импульс противоположного направления.

$\vec p$ — импульс в $\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$, $m$ — масса в килограммах, $\vec v$ — скорость в метрах в секунду. Масса не имеет направления, поэтому направление $\vec p$ всегда совпадает с направлением $\vec v$.

Пример. Мяч массой 0,4 кг летит вправо со скоростью 6 м/с. Модуль импульса:

Если направить ось вправо, проекция импульса равна $+2{,}4\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$. Для того же мяча, летящего влево, она равна $-2{,}4\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$.

Складывайте импульсы как векторы. На одной прямой достаточно выбрать положительное направление и записать скорости со знаками.

Пример. Тележка массой 2 кг движется вправо со скоростью 3 м/с, а тележка массой 1 кг — влево со скоростью 4 м/с. Направим ось вправо:

Полный импульс направлен вправо. Складывать модули $6+4$ нельзя: тела движутся навстречу.

Для постоянной силы произведение силы на время действия равно изменению импульса. Если сила меняется, в школьной качественной задаче обычно рассматривают её среднее значение.

Пример. Скорость мяча массой 0,2 кг изменилась с 5 м/с вправо до 3 м/с влево. Направим ось вправо:

Отрицательный знак показывает, что импульс силы направлен влево. Если контакт длился 0,08 с, средняя проекция силы равна

При одинаковом изменении импульса $\Delta p$ средняя сила обратно пропорциональна времени остановки. Ремень и подушка безопасности увеличивают время, за которое скорость человека уменьшается до нуля. Поэтому средняя сила становится меньше.

Закон применим к замкнутой системе. В реальной задаче достаточно, чтобы внешний импульс силы за время взаимодействия был намного меньше внутренних импульсов. Для короткого столкновения тел на гладкой горизонтальной поверхности это условие обычно выполняется.

Для двух тел на одной прямой:

где $v_1$, $v_2$ — проекции скоростей до взаимодействия, $u_1$, $u_2$ — после него.

Тележка массой 0,3 кг движется вправо со скоростью 4 м/с. Она сталкивается с покоящейся тележкой массой 0,5 кг, после чего тележки сцепляются. Найдём их общую скорость.

Шаг 1. Выбираем систему из двух тел и ось вправо. За короткое время удара внешним импульсом силы пренебрегаем.

Шаг 2. До удара полный импульс:

Шаг 3. После удара тележки движутся вместе, поэтому их масса равна $0{,}3+0{,}5=0{,}8\text{ кг}$:

Шаг 4. Общая скорость:

Ответ: 1,5 м/с вправо.

Проверка: общая скорость лежит между исходными скоростями 0 и 4 м/с. Кинетическая энергия уменьшилась, и это не нарушает закон сохранения импульса: часть энергии перешла во внутреннюю при деформации и нагревании.

При реактивном движении часть системы отделяется и уносит импульс в одну сторону, а оставшаяся часть получает импульс в противоположную. Так движется ракета: газы выбрасываются назад, ракета ускоряется вперёд. Отталкивание происходит и без воздуха, поэтому ракета работает в космосе.

Тема может появиться в заданиях на понятия и законы № 1–5, изменение величин и данные № 12–16, качественной задаче № 19 и развёрнутых расчётах № 20–22. В краткой задаче часто достаточно $p=mv$; в столкновении нужны направление оси и закон сохранения.

• Складывают модули импульсов тел, движущихся навстречу. Нужны проекции со знаками.
• Сохраняют импульс одного тела. Закон относится к полной выбранной системе.
• Применяют закон к долгому движению с заметной внешней силой без её импульса.
• Считают, что при неупругом ударе сохраняется кинетическая энергия. Полный импульс сохраняется, механическая энергия — не обязательно.
• Путают импульс тела $\vec p$ и импульс силы $\vec F\Delta t$.

1. Как изменится модуль импульса, если массу увеличить в три раза при той же скорости?
2. Почему у встречных скоростей разные знаки?
3. Какое условие разрешает применить закон сохранения?
4. Может ли импульс сохраняться при уменьшении кинетической энергии?

Ответы: импульс увеличится в три раза; знак задаёт направление относительно оси; внешний импульс силы пренебрежимо мал; да, при неупругом взаимодействии.

Тема 1.15 «Импульс тела и импульс силы» и тема 1.16 «Сохранение импульса и реактивное движение» сверены с проектом материалов ФИПИ ОГЭ-2027. Все объяснения, числа и условия примеров подготовлены FastLearn.

Сначала решите две задачи на знаки проекций, затем столкновение со сцеплением и столкновение, где тела разлетаются. После каждого решения проверяйте полный импульс до и после.