Задание № 14 ОГЭ по математике: последовательности и прогрессии

Нужно найти член последовательности, сумму членов или закономерность. Чаще всего используются арифметическая и геометрическая прогрессии, но возможны последовательности, заданные формулой или рекуррентно.

• $n$-й член арифметической прогрессии;
• сумма первых $n$ членов;
• определение разности или знаменателя;
• геометрическая прогрессия и повторный процентный рост;
• последовательность по формуле или словесному правилу.

Верный числовой ответ оценивается в 1 первичный балл. Индекс члена и его значение — разные числа: в ответ переносят величину, которую спрашивает условие.

Если первый член $a_1$, а постоянная разность $d$, то

1. Определите способ задания последовательности.
2. Для прогрессии найдите $d=a_{n+1}-a_n$ или $q=a_{n+1}/a_n$.
3. Подставьте правильный номер $n$, учитывая $n-1$ переходов от первого члена.
4. Для суммы проверьте число слагаемых.
5. Подставьте первые малые значения и убедитесь, что формула согласуется с рядом.

Условие. В арифметической прогрессии $a_1=5$, $d=3$. Найдите сумму первых $12$ членов.

Решение. Сначала найдём последний член:

Теперь применим формулу суммы:

Множитель $12$ соответствует двенадцати слагаемым; от $a_1$ до $a_{12}$ сделано $11$ шагов.

Ответ: $258$.

Пример придуман FastLearn.

• Подставляют $dn$ вместо $d(n-1)$.
• Смешивают формулы арифметической и геометрической прогрессий.
• Делят на число членов при вычислении суммы.
• Считают проценты простым сложением при повторном изменении.

Формулы обеих прогрессий и повторного роста собраны в разделе о последовательностях и справочнике.