Задание № 20 ОГЭ по математике: развёрнутое уравнение или неравенство

Первое задание части 2 требует полного решения уравнения, системы или неравенства. Одного ответа недостаточно: эксперт должен увидеть равносильные переходы, ограничения и получение всех корней или промежутков.

• квадратное, биквадратное или дробно-рациональное уравнение;
• система уравнений;
• квадратное или рациональное неравенство;
• целое уравнение, сводимое к произведению множителей;
• задача, где требуется отбор корней по ОДЗ.

Максимум — 2 первичных балла. Два балла дают за обоснованно полученный верный ответ. Один балл возможен, если решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка и последующие шаги верно продолжают ошибочный расчёт. Остальные решения оцениваются в 0 баллов. Это критерий проекта ФИПИ 2027 года для показанного задания № 20; конкретная формулировка критерия в реальном варианте привязана к задаче.

Для рационального выражения

отмечают нули числителя $a_i$ и запрещённые точки $b_j$, затем определяют знак на каждом промежутке. Запрещённые точки никогда не входят в ответ.

1. Выпишите ОДЗ и перенесите всё в одну часть.
2. Выполните равносильные преобразования, не деля без проверки на выражение с переменной.
3. Разложите числитель и знаменатель на множители.
4. Найдите корни или выберите интервалы с нужным знаком.
5. Проверьте границы и запишите ответ стандартными обозначениями.

Условие. Решите неравенство

Решение. Знаменатель обращается в ноль при $x=4$, поэтому $x\ne4$. Разложим числитель:

Критические точки: $2$, $3$, $4$. На промежутках знаки выражения последовательно равны «минус, плюс, минус, плюс»: $(-\infty;2)$, $(2;3)$, $(3;4)$, $(4;+\infty)$. Нужны неположительные значения. Нули числителя $2$ и $3$ включаем, точку $4$ исключаем:

Проверка точками: при $x=0$ дробь отрицательна; при $x=2{,}5$ положительна; при $x=3{,}5$ отрицательна.

Ответ: $(-\infty;2]\cup[3;4)$.

Пример и решение созданы FastLearn.

• Включают $x=4$, потому что знак неравенства нестрогий.
• Теряют нули числителя.
• Решают отдельно числитель и знаменатель без таблицы знаков.
• Пишут только ответ без обоснованного хода решения.

Критерии всей части 2 собраны в чек-листе развёрнутого ответа, а краткая схема позиции сохранена в групповом алгоритме.