Задание № 21 ОГЭ по математике: текстовая задача

Нужно перевести условие на язык математики, решить полученную модель и проверить ответ по смыслу. В записи должны быть определены неизвестные и объяснено, откуда взялось уравнение.

• движение навстречу, вдогонку или по течению;
• совместная работа и производительность;
• смеси, сплавы и концентрации;
• проценты и последовательные изменения;
• целочисленные задачи о количестве, разрядах или размерах.

Максимум — 2 первичных балла. Два балла дают за верный ход решения и верный ответ. Один балл ставят, если математическая модель составлена верно, но решение не завершено или содержит ошибки; также 1 балл возможен за в целом верное решение с небольшим недостатком либо вычислительной ошибкой. Иначе — 0. Это критерий проекта ФИПИ 2027 года для демонстрационного задания № 21.

При постоянной скорости

где $s$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время. В одной формуле используют согласованные единицы.

1. Введите неизвестную и укажите смысловое ограничение.
2. Составьте таблицу величин для каждого участника или этапа.
3. Запишите связь из условия одним уравнением.
4. Решите уравнение и отбросьте бессмысленные корни.
5. Подставьте ответ в исходную ситуацию, затем укажите единицы.

Условие. Катер прошёл $48$ км по течению и $48$ км против течения за $5$ часов. Скорость течения равна $4$ км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Решение. Пусть собственная скорость катера равна $v$ км/ч. Тогда $v>4$, скорость по течению равна $v+4$, а против течения — $v-4$. По формуле $t=s/v$ составляем уравнение:

Умножаем обе части на выражение $(v+4)(v-4)$, которое не равно нулю при допустимом $v$:

Дискриминант равен $96^2+4\cdot5\cdot80=10\,816=104^2$. Поэтому

Корни $20$ и $-0{,}8$. Отрицательная скорость не подходит, остаётся $v=20$ км/ч. Проверка: $48/24+48/16=2+3=5$ часов.

Ответ: $20$ км/ч.

Условие и решение составлены FastLearn.

• Складывают скорость течения с собственной скоростью в обоих направлениях.
• Составляют уравнение по скоростям, хотя в условии связаны времена.
• Не задают ограничение $v>4$.
• Оставляют отрицательный корень без проверки смысла.

Модели движения, работы и смеси разобраны в теории текстовых задач, а критерии записи — в чек-листе части 2.