Задание № 22 ОГЭ по математике: график функции и параметр

Нужно построить график функции, часто кусочной или преобразованной, и ответить на вопрос о количестве пересечений с прямой. Эксперт оценивает сам график и вывод о параметре.

• парабола с выколотой точкой;
• кусочная функция;
• модуль или дробно-рациональная функция;
• преобразование знакомого графика;
• горизонтальная или наклонная прямая с параметром.

Максимум — 2 первичных балла. Два балла дают за верно построенный график и верно найденные значения параметра. Если график верен, но параметр найден неверно или не найден, ставят 1 балл. Иначе — 0. Это критерий проекта ФИПИ 2027 года для демонстрационного задания № 22.

Для $y=ax^2+bx+c$, где $a\ne0$, абсцисса вершины равна

1. Найдите область определения и особые точки.
2. Упростите формулу только на допустимой области.
3. Постройте каждый кусок по опорным точкам; отметьте включённые и выколотые точки.
4. Проведите семейство прямых, заданное параметром.
5. Посчитайте пересечения, отдельно проверяя касание и уровни особых точек.

Условие. Постройте график

и найдите все $m$, при которых прямая $y=m$ не имеет с ним общих точек.

Решение. Исходная функция не определена при $x=2$. При $x\ne2$

Поэтому график — прямая $y=x+2$ с выколотой точкой $(2;4)$. Для построения достаточно отметить несколько точек:

Через точки $(-2;0)$, $(0;2)$ и $(4;6)$ проводим прямую. Точку $(2;4)$ отмечаем пустым кружком, потому что $x=2$ не входит в область определения.

Любая горизонтальная прямая пересекает прямую $y=x+2$ ровно один раз. При $m=4$ единственная возможная точка пересечения — $(2;4)$, но она исключена из графика. Значит, общих точек нет только при $m=4$.

Ответ: $m=4$.

Пример создан FastLearn.

• После сокращения возвращают запрещённую точку.
• Рисуют только эскиз без координат опорных точек.
• Не различают касание и два пересечения.
• Записывают одно число, хотя ответом может быть промежуток значений параметра.

Основные графики и преобразования разобраны в теории функций, а краткий алгоритм сохранён в обзоре позиций 20–25.