Задание № 24 ОГЭ по математике: доказательство

Нужно доказать геометрическое утверждение для всей заданной конфигурации. Числовая проверка и точный рисунок не заменяют доказательство. Каждый новый факт связывают с условием, определением или теоремой.

• равенство или подобие треугольников;
• свойства четырёхугольника;
• параллельность или перпендикулярность прямых;
• равенство углов и отрезков в окружности;
• отношение площадей или медиан, биссектрис и высот.

Максимум — 2 первичных балла. Два балла дают за верное доказательство, в котором обоснованы все шаги. Один балл возможен, если доказательство по существу верно, но содержит небольшой недостаток. Иначе — 0. Это критерий проекта ФИПИ 2027 года для демонстрационного задания № 24.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Тогда соответствующие стороны пропорциональны:

1. Запишите, что дано и что требуется доказать.
2. Найдите промежуточный факт, который ведёт к цели.
3. Выберите признак равенства, подобия или свойство окружности.
4. Для каждого равенства углов и отрезков укажите основание.
5. Последней фразой получите ровно требуемое утверждение.

Условие. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ делит угол $DAB$ пополам. Докажите, что $ABCD$ — ромб.

Доказательство.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD\parallel BC$. При секущей $AC$ углы $CAD$ и $ACB$ равны как накрест лежащие:

   $$\angle CAD=\angle ACB.$$

2. По условию $AC$ — биссектриса угла $DAB$, поэтому

   $$\angle BAC=\angle CAD.$$

   Следовательно, $\angle BAC=\angle ACB$.

3. В треугольнике $ABC$ напротив равных углов лежат равные стороны, поэтому $AB=BC$.

4. В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD$ и $BC=AD$. Вместе с $AB=BC$ это даёт

   $$AB=BC=CD=AD.$$
5. Параллелограмм, у которого все стороны равны, — ромб. Значит, $ABCD$ — ромб, что и требовалось доказать.

Условие и доказательство созданы FastLearn.

• Объявляют углы равными без ссылки на параллельность или биссектрису.
• Доказывают только один частный рисунок.
• Используют требуемый вывод как исходное условие.
• Получают равенство двух сторон, но не завершают переход к определению ромба.

Структура проверяемого доказательства собрана в критериях части 2, а свойства фигур — в теории геометрии.