Задание № 25 ОГЭ по математике: сложная геометрия

Это вычислительная геометрическая задача высокого уровня. Требуется самостоятельно заметить цепочку из нескольких фактов: построить вспомогательную линию, доказать подобие, применить степень точки, связать площади или перейти к координатам. Числа подставляют только после геометрического обоснования.

• треугольник с высотой, медианой или биссектрисой;
• окружность, секущие, касательные и степень точки;
• вписанные и описанные четырёхугольники;
• трапеция или параллелограмм со вспомогательным построением;
• подобие, отношения площадей и несколько связанных неизвестных;
• координатный способ для сложной конфигурации.

В одном условии могут сочетаться несколько типов.

Максимум — 2 первичных балла. Два балла дают за верный ход решения и верный ответ. Один балл возможен при в целом верном решении с небольшим недостатком или вычислительной ошибкой. Решение, не достигающее этого уровня, получает 0. Так оценено демонстрационное задание № 25 проекта ФИПИ 2027 года; критерий реального варианта будет учитывать его условие.

Если из внешней точки $P$ проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A,B$ и $C,D$, то

В каждом произведении берут расстояния от одной точки $P$ до двух пересечений на одной секущей.

Почему это верно: пусть точки на секущих расположены в порядке $P,A,B$ и $P,C,D$. Рассмотрим треугольники $PAD$ и $PCB$. Угол при $P$ у них общий. Углы $PDA$ и $PBC$ равны вписанным углам $CDA$ и $ABC$, которые опираются на одну дугу $AC$.

Треугольники $PAD$ и $PCB$ подобны по двум углам. Поэтому $PA/PC=PD/PB$. После умножения на $PC\cdot PB$ получаем $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.

Если два треугольника имеют общую высоту к одной прямой, то их площади относятся как основания:

1. Сделайте крупный чертёж и отметьте порядок точек.
2. Выпишите факты из условия и следствия: прямые углы, точки на одной окружности, равные углы и параллельные прямые.
3. Сформулируйте промежуточную цель: найти отношение, доказать подобие или вычислить степень точки.
4. Разбейте решение на шаги. Для каждого вывода укажите факт или теорему, на которых он основан.
5. После доказанных связей выполните расчёт и проверьте результат вторым соотношением.

Условие. В остроугольном треугольнике $ABC$ высота $BH$ опущена на сторону $AC$. Известно, что $AB=10$, $BH=8$, $HC=9$, причём $H$ лежит между $A$ и $C$. Окружность через точки $A$, $B$, $H$ вторично пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABK$.

Решение.

1. Треугольник $ABH$ прямоугольный, потому что $BH\perp AC$. По теореме Пифагора

   $$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$$

   Так как $H$ лежит между $A$ и $C$, $AC=AH+HC=6+9=15$.

2. В прямоугольном треугольнике $BHC$

   $$BC=\sqrt{BH^2+HC^2}=\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{145}.$$

3. Из точки $C$ выходят две секущие окружности. На прямой $CA$ точки пересечения — $H$ и $A$; на прямой $CB$ — $K$ и $B$. По теореме о степени точки

   $$CH\cdot CA=CK\cdot CB.$$

   Поэтому

   $$CK=\frac{9\cdot15}{\sqrt{145}}=\frac{135}{\sqrt{145}}.$$

   Точка $K$ лежит на стороне $BC$, значит

   $$BK=BC-CK=\sqrt{145}-\frac{135}{\sqrt{145}}=\frac{10}{\sqrt{145}}.$$

4. Треугольники $ABK$ и $ABC$ имеют общую высоту из $A$ к прямой $BC$. Поэтому их площади относятся как основания $BK$ и $BC$:

   $$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{10/\sqrt{145}}{\sqrt{145}}=\frac{2}{29}.$$

   Площадь большого треугольника удобно найти по основанию $AC$ и высоте $BH$:

   $$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot15\cdot8=60.$$

   Следовательно,

   $$S_{ABK}=60\cdot\frac{2}{29}=\frac{120}{29}.$$

Ответ: $\frac{120}{29}$.

Условие, доказательная цепочка и вычисления созданы FastLearn. Это не копия задания или решения ФИПИ.

В записи обоснованы положение точек, обе теоремы Пифагора, применение степени точки и отношение площадей. Все длины положительны, $CK<CB$, поэтому точка $K$ действительно лежит между $B$ и $C$. Проверим отношение: $BK/BC=10/145=2/29$. Оно меньше 1, поэтому площадь малого треугольника меньше площади всего треугольника, как и видно по условию.

Независимая координатная проверка даёт тот же результат. Положим $A(0;0)$, $H(6;0)$, $B(6;8)$, $C(15;0)$. Тогда $AB=10$, $BH=8$, $HC=9$, а окружность через $A$, $B$, $H$ задаётся уравнением $(x-3)^2+(y-4)^2=25$. Точка $K$ делит $BC$ в отношении $BK:BC=2:29$, поэтому

Подстановка координат $K$ в уравнение окружности даёт 25. Площадь по определителю равна

• Перемножают отрезки с разных внешних точек.
• Путают порядок точек и складывают $BK$ с $BC$.
• Используют отношение площадей без общей высоты или подобия.
• Переходят к вычислениям до доказательства геометрических связей.

Теоремы окружности и треугольника собраны в геометрическом справочнике. Краткая памятка сохранена в обзоре позиций 20–25, а требования к записи — в критериях части 2.