Эта статья помогает найти школьную основу, на которой строятся задания ОГЭ. Она не заменяет учебник и не утверждает, что каждая тема обязательно встретится на экзамене. Точный проверяемый перечень задаёт проект кодификатора ОГЭ-2027, а здесь к нему добавлены короткие пояснения связующих тем: порядка действий, математического языка, признаков равенства, теоремы Фалеса, симметрии и пространственных фигур.

Если правило уже подробно разобрано в библиотеке, раздел даёт краткую опору и постоянную ссылку. Формулы с расшифровкой букв, условиями и вычислениями собраны отдельно в формульном справочнике.

Содержание школьной карты сверено с Федеральной рабочей программой основного общего образования «Математика. 5–9 классы (базовый уровень)», размещённой в каталоге рабочих программ ЕДСОО. В одном официальном документе собраны курсы «Математика» для 5–6 классов, «Алгебра», «Геометрия» и «Вероятность и статистика» для 7–9 классов. Федеральная программа описывает содержание всего школьного курса, а проект кодификатора ФИПИ — экзаменационный охват ОГЭ, поэтому связующие школьные темы в этой статье отделены от обязательной экзаменационной основы.

Как выбрать раздел

Ошибаетесь в вычислениях — начните с чисел, дробей, пропорций и порядка действий.
Теряетесь в буквах — откройте выражения, уравнения и функции.
Не видите ход геометрической задачи — повторите углы, равенство, подобие и теорему Фалеса.
Не понимаете таблицу, график или случайный опыт — откройте данные, вероятность и комбинаторику.

Порядок действий и математическая запись

Идея. Сначала выполняют действия в скобках, затем степени и корни, потом умножение и деление, после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Черта дроби и знак корня тоже группируют выражение.

Граница правила. Запись $-3^2$ означает $-(3^2)=-9$, а $(-3)^2=9$: скобки меняют основание степени.

Пример. $18-2(3+4)$: 1) в скобках $3+4=7$; 2) умножаем $2\cdot7=14$; 3) вычитаем $18-14=4$.

Натуральные и целые числа, делимость

Идея. Натуральные числа считают объекты, целые добавляют ноль и отрицательные числа. Простое число больше единицы имеет ровно два натуральных делителя. Разложение на простые множители помогает находить НОД и НОК.

Граница правила. Число $1$ не простое и не составное. При сложении отрицательных чисел учитывайте знак, а не складывайте только модули механически.

Пример. $84=2^2\cdot3\cdot7$, $126=2\cdot3^2\cdot7$. Общие множители с меньшими показателями дают $\operatorname{НОД}(84,126)=42$, а все множители с большими показателями — $\operatorname{НОК}(84,126)=252$.

Подробнее: числа и признаки делимости и связь НОД с НОК.

Обыкновенные и десятичные дроби

Идея. Дробь $a/b$ показывает результат деления $a$ на $b$. Для сложения нужен общий знаменатель; при умножении перемножают числители и знаменатели; при делении умножают на обратную дробь.

Граница правила. Знаменатель не равен нулю. Сокращают общий множитель всего числителя и знаменателя, а не части суммы.

Пример. $\frac34+\frac5{12}$: 1) $\frac34=\frac9{12}$; 2) $\frac9{12}+\frac5{12}=\frac{14}{12}$; 3) сокращаем и получаем $\frac76$.

Подробнее: дроби и проценты и действия с дробями.

Отношение, пропорция и масштаб

Идея. Отношение сравнивает две величины делением. Пропорция утверждает равенство двух отношений. Масштаб $1:n$ означает, что одна единица длины на плане соответствует $n$ таким же единицам на местности.

Граница правила. Сравниваемые величины сначала переводят в одинаковые единицы. Нулевой знаменатель запрещён.

Пример. Масштаб карты $1:50,000$, расстояние на карте $3$ см. 1) Настоящее расстояние $3\cdot50,000=150,000$ см. 2) Делим на $100$, получаем $1500$ м. 3) Это $1{,}5$ км.

Подробнее: пропорции и пропорциональные величины.

Проценты и доли

Идея. Один процент — одна сотая целого. В задаче сначала назовите базу, затем замените процент дробью или процентным множителем.

Граница правила. Последовательные изменения относятся к разным базам. Рост на $20%$ и снижение на $20%$ не возвращают исходное значение.

Пример. После роста на $20%$ и снижения на $20%$ величина $500$ станет $500\cdot1{,}2\cdot0{,}8=480$.

Подробнее: процент от числа и повторные проценты.

Степени, корни и действительные числа

Идея. Степень сокращает запись одинаковых множителей. Арифметический квадратный корень отвечает на обратный вопрос: какое неотрицательное число в квадрате даёт подкоренное выражение. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа.

Граница правила. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому $\sqrt{x^2}=|x|$. В действительных числах корень чётной степени из отрицательного числа не определён.

Пример. $\sqrt{75}$: 1) выделяем квадрат $75=25\cdot3$; 2) $\sqrt{75}=\sqrt{25}\sqrt3$; 3) получаем $5\sqrt3$.

Подробнее: степени и корни и свойства корней.

Выражения, одночлены и многочлены

Идея. Значение выражения получают подстановкой допустимых значений переменных. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть; только их коэффициенты можно складывать. Многочлен раскладывают на множители вынесением общего множителя или по тождеству.

Граница правила. Равенство преобразований должно выполняться для всех допустимых значений. После сокращения дроби ограничения исходного знаменателя сохраняются.

Пример. $6x^2-9x$: 1) общий числовой множитель $3$; 2) общая буквенная часть $x$; 3) $6x^2-9x=3x(2x-3)$.

Подробнее: алгебраические выражения и алгебраические дроби.

Уравнения, ОДЗ и системы

Идея. Корень уравнения превращает его в верное равенство. Равносильные преобразования сохраняют множество корней. Система требует одновременного выполнения всех уравнений, совокупность — хотя бы одного.

Граница правила. Область допустимых значений, или ОДЗ, проверяют до освобождения от знаменателей и корней. Возведение в квадрат может добавить посторонний корень.

Пример. $\frac{x+1}{x-2}=2$: 1) ОДЗ: $x\ne2$; 2) $x+1=2x-4$; 3) $x=5$, и он входит в ОДЗ.

Подробнее: уравнения и линейные системы.

Неравенства и числовые промежутки

Идея. Решение неравенства — множество значений, при которых сравнение верно. Система пересекает множества решений, совокупность объединяет их.

Граница правила. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется. В строгом неравенстве граничная точка не входит в ответ.

Пример. $-2x<6$: 1) делим на $-2$; 2) меняем знак, $x>-3$; 3) на прямой отмечаем $-3$ пустой точкой и берём правый луч.

Подробнее: неравенства и линейное неравенство.

Функции и графики

Идея. Функция каждому допустимому $x$ сопоставляет одно значение $y$. График показывает все пары $(x;y)$ и помогает находить нули, знаки, рост, убывание, максимум и минимум.

Граница правила. Одна вертикальная прямая не должна пересекать график функции более чем в одной точке. При чтении графика учитывайте масштаб каждой оси.

Пример. Для $y=2x-6$: 1) пересечение с $Oy$ — $(0;-6)$; 2) нуль получаем из $2x-6=0$, то есть $x=3$; 3) поскольку коэффициент $2>0$, функция возрастает.

Подробнее: функции и графики и преобразования графика.

Последовательности и прогрессии

Идея. Последовательность — функция с натуральными номерами аргумента. Её задают формулой $n$-го члена, рекуррентным правилом, таблицей или описанием. В арифметической прогрессии постоянна разность, в геометрической — множитель перехода.

Граница правила. Несколько первых членов не определяют единственную последовательность без дополнительного правила.

Пример. Для $a_n=3n-1$: 1) подставляем $n=5$; 2) $a_5=3\cdot5-1$; 3) $a_5=14$.

Подробнее: последовательности и формулы прогрессий.

Данные, средние и вероятность

Идея. Среднее учитывает все наблюдения, медиана показывает середину упорядоченного ряда, размах — расстояние между крайними значениями. Вероятность в опыте с равновозможными исходами равна доле благоприятных исходов.

Граница правила. Среднее чувствительно к выбросам, а медиана может их почти не отражать. Формула $m/n$ для вероятности требует равновозможности исходов.

Пример. В ряду $2,3,3,4,18$: 1) сумма $30$, среднее $30/5=6$; 2) среднее по порядку число равно $3$, это медиана; 3) размах $18-2=16$.

Подробнее: статистика и вероятность и вероятностные формулы.

Точки, прямые, лучи и углы

Идея. Через две разные точки проходит единственная прямая. Луч имеет начало и не имеет конца, отрезок ограничен двумя концами. Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла; параллельные прямые в плоскости не пересекаются.

Граница правила. Равенство углов на рисунке нельзя принимать на глаз. Нужна отметка, условие или доказанная связь.

Пример. Если один из вертикальных углов равен $47^\circ$, противоположный тоже равен $47^\circ$, а каждый смежный — $180^\circ-47^\circ=133^\circ$.

Подробнее: основы геометрии и формулы для углов.

Теорема Фалеса

Точная формулировка. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.

В более общей пропорциональной форме для рисунка ниже:

[ AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}. ]

Условия и границы. Точки $A,B,C$ лежат на одной стороне угла в этом порядке, $A_1,B_1,C_1$ — на другой, а соединяющие их прямые попарно параллельны. Без параллельности вывод о пропорциональности неверен. Классическая формулировка с равными отрезками — частный случай общей пропорции.

Почему работает. Параллельные прямые создают подобные треугольники с общей вершиной $O$. Коэффициенты подобия одинаково изменяют соответствующие отрезки на двух лучах.

Пример. Пусть $AB=4$ см, $BC=6$ см, $A_1B_1=10$ см. 1) Из параллельности получаем $AB/BC=A_1B_1/B_1C_1$. 2) $4/6=10/x$. 3) $4x=60$, поэтому $B_1C_1=15$ см.

$Теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки$

Если изображение недоступно: из точки $O$ выходят два луча. Три параллельные прямые пересекают верхний луч в $A,B,C$, нижний — в $A_1,B_1,C_1$. Соответствующие промежутки на лучах пропорциональны.

Равенство и подобие треугольников

Идея. Равные треугольники совпадают при наложении. Их доказывают по трём признакам: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; три стороны. Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны.

Граница правила. В признаке «две стороны и угол» нужен угол между сторонами. Равенство только трёх углов доказывает подобие, но не равенство.

Пример. У двух треугольников стороны при угле $60^\circ$ равны $4$ см и $7$ см. Если угол расположен между этими сторонами в обоих треугольниках, фигуры равны по двум сторонам и углу между ними.

Подробнее: подобие и площади и задача на доказательство.

Медиана, биссектриса, высота и серединный перпендикуляр

Идея. Медиана идёт к середине противоположной стороны, биссектриса делит угол пополам, высота перпендикулярна прямой противоположной стороны. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны под прямым углом.

Граница правила. Эти отрезки совпадают не в любом треугольнике. В равнобедренном треугольнике совпадают только линии, проведённые из вершины к основанию; в равностороннем совпадают все соответствующие линии.

Пример. В равнобедренном треугольнике боковые стороны по $5$ см, основание $6$ см. Высота к основанию делит его пополам: по $3$ см. По Пифагору высота равна $\sqrt{5^2-3^2}=4$ см.

Подробнее: треугольники и теорема о биссектрисе.

Четырёхугольники

Идея. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся пополам. Прямоугольник добавляет прямые углы и равные диагонали, ромб — равные стороны и перпендикулярные диагонали, квадрат объединяет свойства прямоугольника и ромба. У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна.

Граница правила. Свойство более специальной фигуры нельзя переносить на общий параллелограмм: его диагонали не обязаны быть равными или перпендикулярными.

Пример. В параллелограмме диагонали пересекаются в $O$, $AO=7$ см. 1) Диагонали делятся пополам. 2) $OC=AO=7$ см. 3) Вся диагональ $AC=14$ см.

Подробнее: многоугольники и площади четырёхугольников.

Окружность, хорда, секущая и касательная

Идея. Радиус соединяет центр с точкой окружности, хорда — две точки окружности, диаметр проходит через центр. Секущая пересекает окружность в двух точках, касательная имеет одну общую точку и перпендикулярна радиусу к этой точке.

Граница правила. Равенство отрезков касательных относится только к отрезкам из одной внешней точки. В формулах степени точки полную секущую считают от внешней точки до дальней точки окружности.

Пример. Из точки $P$ проведены две касательные $PA$ и $PB$. Если $PA=8$ см, то $PB=8$ см. Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны соответствующим касательным.

Подробнее: окружность и круг, свойства касательных и степень точки.

Координаты и векторы

Идея. Координаты задают положение точки, а вектор — направление и длину перемещения. Разности координат дают компоненты вектора; скалярное произведение помогает проверять перпендикулярность.

Граница правила. Масштабы осей должны совпадать. Порядок концов вектора меняет знак его координат.

Пример. Для $A(-1;2)$ и $B(3;5)$: 1) $\overrightarrow{AB}=(4;3)$. 2) Длина равна $\sqrt{4^2+3^2}$. 3) Получаем $5$.

Подробнее: координатная плоскость и векторы.

Симметрия и геометрические построения

Идея. При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом. При центральной симметрии центр — середина такого отрезка. Построения циркулем и линейкой опираются на множества равноудалённых точек.

Граница правила. Симметрия сохраняет длины и углы, но осевая симметрия меняет ориентацию фигуры. Рисунок подтверждает построение только вместе с описанными шагами.

Пример. Точка $A(2;-3)$ отражается относительно оси $Oy$. 1) Расстояние до оси по горизонтали сохраняется. 2) Знак $x$ меняется, $y$ остаётся прежним. 3) Образ имеет координаты $A'(-2;-3)$.

Пространственные фигуры и развёртки

Идея. Призма имеет два равных параллельных основания, пирамида — одно основание и общую вершину боковых граней. Цилиндр, конус и шар распознают по круглым сечениям и поверхностям. Развёртка показывает все грани плоско и помогает считать материал.

Граница правила. Объём измеряют в кубических единицах, площадь поверхности — в квадратных. Формула $V=abc$ относится к прямоугольному параллелепипеду, а не к любой призме без проверки основания и высоты.

Пример. У прямоугольного параллелепипеда рёбра $2$, $3$ и $5$ см. 1) Объём $2\cdot3\cdot5=30$ см$^3$. 2) Площадь поверхности $2(2\cdot3+3\cdot5+2\cdot5)$. 3) Получаем $62$ см$^2$.

Подробнее: объём прямоугольного параллелепипеда.

Высказывания, доказательства и контрпримеры

Идея. Теорема имеет условие и заключение. Чтобы доказать общее утверждение, нужна цепочка фактов, работающая для всех допустимых объектов. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одного контрпримера.

Граница правила. Проверка нескольких частных случаев не доказывает теорему. Чертёж помогает найти идею, но его вид не заменяет обоснование.

Пример. Утверждение «если диагонали четырёхугольника равны, то это прямоугольник» ложно. Равнобедренная трапеция может иметь равные диагонали и не иметь прямых углов, поэтому служит контрпримером.

Подробнее: задание № 19 и проверка доказательства.

Школьное расширение по федеральной программе

Следующие темы входят в федеральную рабочую программу, но прежде не получали в библиотеке отдельного объяснения. Это школьное расширение: само присутствие темы здесь не означает, что она обязательно встретится на ОГЭ. Экзаменационную область нужно проверять по актуальным документам ФИПИ.

Разряды, римская запись и деление с остатком

Позиционная запись. В десятичной системе значение цифры зависит от разряда. Для цифр $a_k,\ldots,a_0$ число записывается как $a_k10^k+\ldots+a_1\cdot10+a_0$. Цифры безразмерны. Например, $4,072=4\cdot1000+0\cdot100+7\cdot10+2$.

Римская запись. Она не использует разрядные веса $1,10,100,\ldots$: основные знаки имеют постоянные значения, а порядок задаёт сложение или вычитание. Например, $\mathrm{XLIV}=50-10+5-1=44$.

Деление с остатком. Для целых $a\ge0$ и $b>0$ существуют единственные целые $q\ge0$ и $r$, для которых

[ a=bq+r,\qquad 0\le r<b. ]

Здесь $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток; все величины — отвлечённые целые числа. Например, $157=12\cdot13+1$, поэтому при делении $157$ на $12$ частное равно $13$, остаток — $1$. Остаток $12$ был бы недопустим: он должен быть меньше делителя.

Базовые графики и множества значений

Обозначения. $x$ — аргумент, $y$ — значение функции. В учебных графиках они обычно безразмерны; в прикладной задаче единицы задаёт смысл величин.

Функцию задают формулой, таблицей, графиком или словесным правилом. Например, зависимость $y=2x$ можно записать формулой, таблицей со строками $x:0,1,2$ и $y:0,2,4$, прямой через эти точки или словами «значение вдвое больше аргумента».

У $y=|x|$ область определения — все действительные числа, множество значений — $y\ge0$. Например, точки $(-3;3)$ и $(3;3)$ симметричны относительно $Oy$.
У $y=x^3$ и область определения, и множество значений равны $\mathbb R$; функция возрастает на всей прямой. Например, $x=-2$ даёт $y=-8$, а $x=2$ — $y=8$.
У $y=\sqrt{x}$ требуется $x\ge0$, и всегда $y\ge0$. Например, $(9;3)$ лежит на графике, а при $x=-1$ действительного значения нет.

Вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Эта проверка отличает график функции от произвольной линии.

Биквадратное уравнение

Уравнение

[ ax^4+bx^2+c=0,\qquad a\ne0, ]

решают заменой $t=x^2$. Сначала находят корни квадратного уравнения $at^2+bt+c=0$, затем оставляют только $t\ge0$: в действительных числах квадрат не бывает отрицательным.

Пример. Решим $x^4-5x^2+4=0$. 1) Пусть $t=x^2\ge0$. 2) Получаем $t^2-5t+4=0$, откуда $t=1$ или $t=4$. 3) Из $x^2=1$ имеем $x=\pm1$, из $x^2=4$ — $x=\pm2$. Проверка подстановкой даёт ноль для всех четырёх корней.

Параллельный перенос и поворот

Оба преобразования сохраняют расстояния, углы, площади и форму фигуры.

Параллельный перенос. Перенос на вектор $(a;b)$ переводит точку $(x;y)$ в

[ (x';y')=(x+a;y+b). ]

Координаты $x,y,a,b$ измеряются в одних линейных единицах, если оси имеют единицы. Например, перенос на $(3;4)$ переводит $A(2;-1)$ в $A'(5;3)$; длина вектора переноса равна $\sqrt{3^2+4^2}=5$ единиц.

Поворот. Поворот задают центром, углом и направлением. При повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат $(x;y)$ переходит в $(-y;x)$. Например, $B(3;1)$ переходит в $B'(-1;3)$, причём $OB=OB'=\sqrt{10}$.

Специальные свойства медианы и прямоугольного треугольника

Медиана к гипотенузе. Если $\angle C=90^\circ$, а $M$ — середина гипотенузы $AB$, то $CM=AM=BM=AB/2$. При $AB=10$ см получаем $CM=5$ см.

Угол $30^\circ$. Катет напротив угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы. При гипотенузе $14$ см этот катет равен $7$ см.

Метод удвоения медианы. Если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, продолжим её до точки $D$ так, чтобы $MD=AM$. Диагонали $AD$ и $BC$ четырёхугольника $ABDC$ делятся пополам, поэтому это параллелограмм и $BD=AC$. Например, пусть $AB=7$ см, $AM=5$ см и $\angle BAM=60^\circ$. Тогда $AD=10$ см, а по теореме косинусов в $\triangle ABD$

[ BD^2=7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cos60^\circ=79. ]

Следовательно, $AC=BD=\sqrt{79}$ см.

Центр масс. Три медианы пересекаются в одной точке $G$ и делятся ею в отношении $2:1$ от вершины: $AG:GM=2:1$. Если $AM=12$ см, то $AG=8$ см, $GM=4$ см.

Радианная мера, сектор и сегмент круга

Радианная мера угла равна отношению длины дуги к радиусу: $\varphi=l/r$. Поэтому $180^\circ=\pi$ рад и

[ l=r\varphi,\qquad S_{\text{сектора}}=\frac12r^2\varphi, ]

если $\varphi$ выражен в радианах. Здесь $r$ и $l$ имеют линейные единицы, площадь — квадратные, $\varphi$ безразмерен. Для угла $\alpha$ в градусах сначала используют $\varphi=\alpha\pi/180^\circ$.

Малый круговой сегмент при $0<\varphi\le\pi$ — часть сектора между дугой и хордой. Его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника:

[ S_{\text{сегмента}}=\frac12r^2(\varphi-\sin\varphi). ]

Пример. При $r=6$ см и $\varphi=\pi/3$: 1) $l=6\cdot\pi/3=2\pi$ см; 2) $S_{\text{сектора}}=\frac12\cdot36\cdot\pi/3=6\pi$ см$^2$; 3) площадь треугольника равна $\frac12\cdot36\sin(\pi/3)=9\sqrt3$ см$^2$; 4) площадь сегмента равна $6\pi-9\sqrt3\approx3{,}26$ см$^2$.

Случайная изменчивость, частоты и гистограмма

Повторные измерения одной величины могут различаться: это случайная изменчивость. Если значение или интервал встретился $n_i$ раз среди $N>0$ наблюдений, его относительная частота равна $f_i=n_i/N$. Сумма частот непересекающихся групп равна $1$, если группы охватывают все наблюдения.

Гистограмма показывает распределение числовых данных по соседним интервалам. Для интервалов одинаковой ширины высотой столбца можно показывать частоту; если ширины различаются, частоте должна быть пропорциональна площадь столбца, иначе сравнение искажается.

Пример. Измерения $1{,}2;1{,}7;2{,}1;2{,}4;2{,}8;3{,}6$ сгруппировали по интервалам $[1;2)$, $[2;3)$, $[3;4)$. 1) Частоты равны $2$, $3$, $1$. 2) Относительные частоты равны $1/3$, $1/2$, $1/6$. 3) Их сумма равна $1$. При повторении измерений отдельные частоты могут измениться, хотя общий характер распределения часто сохраняется.

Дисперсия, стандартное отклонение и диаграмма рассеивания

Для набора $x_1,\ldots,x_n$, где $n>0$, среднее, дисперсия и стандартное отклонение равны

[ \overline x=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad D=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2,\qquad \sigma=\sqrt D. ]

$D$ измеряется в квадрате единицы исходных данных, $\sigma$ — в той же единице, что и $x_i$. Эти формулы описывают весь имеющийся набор; в более поздней статистике оценка по выборке может иметь другой знаменатель.

Пример дисперсии. Для $2,4,6$ среднее равно $4$. Квадраты отклонений равны $4,0,4$, поэтому $D=8/3$, а $\sigma=\sqrt{8/3}\approx1{,}63$.

Диаграмма рассеивания наносит пары $(x_i;y_i)$ и помогает увидеть возможную связь двух признаков. Например, точки $(1;2)$, $(2;4)$, $(3;6)$ лежат на возрастающей прямой и показывают положительную связь. Сам рисунок не доказывает, что изменение $x$ служит причиной изменения $y$.

Перестановки, сочетания и треугольник Паскаля

Для целого $n\ge0$ факториал равен $n!=1\cdot2\cdots n$, причём $0!=1$.

Перестановки. Если все $n$ различных объектов используют и порядок важен, число расположений равно $P_n=n!$. Например, пять разных книг можно расставить $5!=120$ способами.

Сочетания. Если из $n$ различных объектов выбирают $k$ и порядок не важен, где $0\le k\le n$, то

[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. ]

Например, выбрать двух дежурных из пяти учеников можно $C_5^2=5!/(2!3!)=10$ способами.

Треугольник Паскаля. По краям каждой строки стоят единицы, а внутреннее число равно сумме двух чисел над ним. Первые строки имеют вид $1$; $1,1$; $1,2,1$; $1,3,3,1$. В обозначениях сочетаний правило записывается так:

[ C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}\qquad(1\le k\le n-1). ]

Например, $C_5^2=C_4^1+C_4^2=4+6=10$: выбранный ученик либо входит в пару, либо не входит.

Подмножества, дополнение и диаграммы Эйлера

$B\subseteq A$ означает, что каждый элемент $B$ входит в $A$. Если $A\subseteq U$, дополнение $\overline A$ относительно заданного универсального множества $U$ содержит элементы $U$, не входящие в $A$. Для конечных множеств $|\overline A|=|U|-|A|$. Диаграмма Эйлера показывает множества областями: подмножество рисуют внутри большего множества, пересечение — общей частью областей.

Пример. Пусть $U={1,2,3,4,5,6}$, $A={2,4,6}$, $B={2,4}$. Тогда $B\subseteq A$, $\overline A={1,3,5}$ и $|\overline A|=6-3=3$. На диаграмме область $B$ целиком лежит внутри $A$, а дополнение $A$ — внутри $U$, но вне $A$.

Связность, циклы, деревья и эйлеров путь

Граф связен, если между любыми двумя его вершинами существует путь. Цикл возвращается в начальную вершину и не повторяет другие вершины. Дерево — связный граф без циклов; у конечного дерева с $|V|$ вершинами всегда $|E|=|V|-1$ рёбер, а путь между двумя вершинами единственный.

Эйлеров путь проходит по каждому ребру ровно один раз. В конечном связном неориентированном графе он существует, если нечётных вершин ровно две или их нет; при отсутствии нечётных вершин путь можно замкнуть в эйлеров цикл. Изолированные вершины без рёбер при этой проверке не учитывают.

Пример дерева и пути. Граф с рёбрами $AB$, $BC$, $CD$ связен, не имеет циклов и содержит $4$ вершины и $3=4-1$ ребра. Единственный путь из $A$ в $D$ — $A-B-C-D$; он же эйлеров, а нечётные вершины — $A$ и $D$.

Пример цикла. В треугольном графе с рёбрами $AB$, $BC$, $CA$ маршрут $A-B-C-A$ — цикл. Степень каждой вершины равна $2$, поэтому этот же маршрут служит эйлеровым циклом.

Условная вероятность и дерево случайного опыта

Условная вероятность события $A$ при известном событии $B$ равна

[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0. ]

На дереве опыта из вершины выходят все возможные продолжения, вероятности этих ветвей дают в сумме $1$. Вероятности вдоль одного пути перемножают, а вероятности несовместных подходящих путей складывают.

Пример. В мешке три красных и два синих шара. Каждый из оставшихся шаров извлекается равновероятно; два шара достают без возвращения. 1) Вероятность красного шара на первом шаге равна $3/5$. 2) При условии, что первый шар красный, остаются два красных из четырёх, поэтому $P(\text{второй красный}\mid\text{первый красный})=2/4=1/2$. 3) Вероятность пути «два красных» равна $3/5\cdot1/2=3/10$.

Геометрическая вероятность

Если точку выбирают равномерно из области конечной ненулевой меры и все её положения равноправны, вероятность попадания в часть области равна отношению одноимённых мер:

[ P=\frac{\text{длина, площадь или мера подходящей части}} {\text{длина, площадь или мера всей области}}. ]

Числитель и знаменатель должны иметь одинаковые единицы, поэтому вероятность безразмерна. Формула неприменима к неравномерному выбору.

Пример. Точку равномерно выбирают на отрезке длиной $12$ см. Подходящая часть имеет длину $3$ см. Вероятность попадания в неё равна $3/12=1/4$. Отдельные граничные точки не меняют длину и вероятность.

Схема Бернулли и первый успех

В схеме Бернулли проводят $n\ge1$ независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха $p$. При $0<p<1$ вероятность ровно $k$ успехов равна

[ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\qquad k\in{0,1,\ldots,n}. ]

Например, при трёх бросках честной монеты вероятность ровно двух орлов равна $C_3^2(1/2)^2(1/2)=3/8$.

При $p=0$ успехов всегда ноль, при $p=1$ их всегда $n$; граничные случаи считают напрямую, не подставляя выражение $0^0$ в формулу.

Если $0<p<1$ и испытания продолжают до первого успеха, вероятность первого успеха на шаге $m\ge1$ равна $(1-p)^{m-1}p$: сначала происходят $m-1$ неудач, затем успех. При $p=1/4$ вероятность первого успеха на третьем шаге равна $(3/4)^2\cdot1/4=9/64$.

Случайная величина, математическое ожидание и закон больших чисел

Случайная величина $X$ принимает значения $x_i$ с вероятностями $p_i\ge0$, где $\sum p_i=1$. Для конечного распределения

[ E(X)=\sum_i x_ip_i,\qquad D(X)=\sum_i\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2p_i. ]

Математическое ожидание имеет единицы $X$, дисперсия — их квадрат. Это средний результат большого числа одинаковых опытов, а не обязательный исход одного опыта.

Пример. Выигрыш равен $10$ рублям с вероятностью $0{,}2$ и $0$ рублей с вероятностью $0{,}8$. Тогда $E(X)=10\cdot0{,}2=2$ рубля, а $D(X)=(10-2)^2\cdot0{,}2+(0-2)^2\cdot0{,}8=16$ рублей$^2$.

Закон больших чисел объясняет, почему при большом числе независимых опытов в одинаковых условиях относительная частота обычно стабилизируется около вероятности. Он не обещает точного совпадения. Например, $96$ шестёрок в $600$ бросках дают частоту $96/600=0{,}16$, близкую к $1/6\approx0{,}167$, но не равную ей.

Что изучать дальше

Выберите раздел, в котором не можете объяснить идею своими словами.
Решите короткий пример без подсказки и проверьте условия правила.
Перейдите по ссылке в подробную статью или формульный справочник.
Затем откройте страницу соответствующего задания ОГЭ и решите новый пример.

Карта закрывает основные связи и обнаруженные пробелы математической библиотеки, но не заменяет полный школьный курс с системой упражнений, доказательств и построений. Проект кодификатора ОГЭ-2027 остаётся источником точного экзаменационного охвата.